Elementy szczególnej teorii względności

Nowoczesny, zaawansowany wykład szczególnej teorii względności w ujęciu geometrycznym, przedstawiający najważniejsze zagadnienia tej teorii traktowanej jako zespół fizycznie zinterpretowanych twierdzeń geometrii przestrzeni Minkowskiego. Autor omawia konceptualne podstawy prowadzące do przypisania czasoprzestrzeni geometrii Minkowskiego oraz specyficzne własności grupy Lorentza, takie jak twierdzenie Zeemana, a także reprezentację tej grupy za pomocą grup SL(2,C) i SO(3,C). Przedstawia również relatywistyczną kinematykę oraz dynamikę, w tym pierwsze twierdzenie Noether (słabe prawa zachowania), pomiary w czasoprzestrzeni i najważniejsze tzw. paradoksy relatywistyczne. Szczegółowo opisuje (metodą Penrose’a) niewidoczność skrócenia lorentzowskiego w realistycznych obserwacjach. W uzupełnieniach podaje nowoczesne eksperymenty potwierdzające teorię Einsteina i jej związek z ogólną teorią względności oraz relacjonuje dyskusję kwestii spornych w obu teoriach: relatywistycznej koncepcji temperatury, identyfikacji punktów pustej czasoprzestrzeni, samą możliwość zmierzenia jednokierunkowej prędkości światła, nierelatywistyczną granicę teorii oraz sens fizyczny niezmienniczości Lorentza. W literaturze angielskojęzycznej książka określona byłaby jako graduate text in theoretical physics. ****** Advanced special relativity This is a modern advanced exposition of special relativity in terms of geometry, presenting the foundations of the theory as well as deeper motivations for expressing it in the form of a physically interpreted system of theorems in Minkowski spacetime geometry. The author discusses empirical data and conceptual ideas, leading to Minkowski geometry in the physical spacetime, then provides a detailed exposition of specific properties of Lorentz group, such as the Zeeman’s theorem and the relationship of the group to SL(2,C) group and to SO(3,C) group. Two chapters deal with relativistic kinematics and dynamics, including the first Noether theorem. An extensive chapter concerns various spacetime measurements and the most important and famous relativistic ,paradoxes’. A special attention is devoted to the invisibility of Lorentz contraction in realistic observations applying the Penrose approach. Ten appendices present modern experiments confirming the theory, exhibit its relationship to general relativity and discuss some issues concerning both the theories, such as transformations of the temperature, identification of empty spacetime points, possibility of measuring the one-way velocity of light, the nonrelativistic limit of special theory and the physical sense of Lorentz symmetry. It is a graduate text in theoretical physics.

Spis treści

Przedmowa 11 Wprowadzenie 15 1. Heurystyczne podstawy teorii względności 17 1.1. Miejsce szczególnej teorii względności w fizyce 17 1.2. Idea czasoprzestrzeni 20 1.3. Wstępna konstrukcja czasoprzestrzeni 24 1.4. Linie świata 29 1.5. Układy odniesienia 29 1.6. Pomiar czasu 31 1.7. Synchronizacja zegarów 33 1.8. Inercjalne układy odniesienia 37 1.9. Aksjomaty teorii względności 43 1.10. Zasada względności Galileusza–Einsteina 45 1.11. Transformacja Galileusza i transformacje 3- wektorów 48 1.12. Przykłady praw niezmienniczych względem transformacji Galileusza 53 1.13. Komentarze do zasady względności 59 1.14. Stosowalność zasady względności 62 1.15. Geometrie, grupy transformacji i niezmienniki 65 1.16. Uniwersalna prędkość oddziaływań c 68 1.17. Diagram Minkowskiego 72 1.18. Interwał czasoprzestrzenny 76 1.19. Wektory w czasoprzestrzeni 80 1.19.1. Wektory umiejscowione 80 1.19.2. Wektory swobodne 81 1.19.3. Wektory styczne do krzywych 82 1.20. Algebra wektorów 84 1.21. Hiperpowierzchnie w czasoprzestrzeni 87 1.21.1. Wprowadzenie 87 1.21.2. Stożek świetlny 88 1.22. Równoczesność zdarzeń 91 1.23. Skrócenie długości 101 1.24. Szczególna transformacja Lorentza 102 1.25. Dylatacja czasu i kontrakcja Lorentza 108 1.25.1. Dylatacja czasu 108 1.25.2. Kontrakcja Lorentza 111 1.26. Składanie prędkości 112 1.26.1. Ruch jednowymiarowy 114 1.26.2. Transformacja przyspieszenia 116 1.26.3. Transformacja prędkości kątowej 117 1.27. Technika diagramu Minkowskiego 117 1.27.1. Wyznaczenie jednostek na osiach obu układów 119 1.27.2. Dylatacja czasu i skrócenie Lorentza na diagramie Minkowskiego 121 1.28. Zjawisko Dopplera i aberracja światła 124 1.28.1. Aberracja światła 127 1.29. Czas własny 129 1.29.1. Druga definicja równoczesności 136 1.30. Paradoks bliźniąt 138 1.30.1. Eksperyment makroskopowy 140 1.31. Nierówność trójkąta dla wektorów czasowych 141 1.32. Relatywistyczna niezmienniczość praw fizyki 145 1.32.1. Kowariantność a niezmienniczość cechowania 152 2. Kinematyka relatywistyczna 156 2.1. Pojęcia podstawowe 156 2.1.1. Krzywe zerowe 157 2.2. Prędkość i przyspieszenie 159 2.3. Tetrada Freneta–Serreta 163 2.3.1. Baza ruchoma w czasoprzestrzeni 163 2.3.2. Płaskie krzywe czasowe 169 2.4. Ruch jednostajnie przyspieszony 170 2.4.1. Postać analityczna ruchu hiperbolicznego 170 2.4.2. Własności geometryczne ruchu hiperbolicznego 174 2.5. Nieinercjalne układy odniesienia 176 2.5.1. Własności układów nieinercjalnych 176 2.5.2. Współrzędne hiperboliczne 181 2.5.3. Współrzędne geodezyjne generowane ruchem po okręgu 183 3. Dynamika relatywistyczna 185 3.1. Wprowadzenie 185 3.2. Relatywistyczny pęd ? konstrukcja heurystyczna 186 3.3. Czterowektor pędu i równania newtonowskie 188 3.3.1. Niekowariantne równania ruchu 188 3.3.2. Retardacja i równania różniczkowo-funkcyjne 193 3.4. Całkowita energia kinetyczna 197 3.5. Prawo zachowania 4-pędu 203 3.6. Relatywistyczne kowariantne równania newtonowskie 206 3.7. Moment pędu 208 3.8. Mechanika relatywistyczna w formalizmie Lagrange’a 215 3.9. Formalizm kanoniczny mechaniki relatywistycznej 223 3.9.1. Kowariantny formalizm kanoniczny 223 3.9.2. Niekowariantny formalizm kanoniczny 225 3.10. Pierwsze twierdzenie Noether 231 3.10.1. Sformułowanie twierdzenia 231 3.10.2. Ładunek w stałym polu elektrycznym i magnetycznym 235 3.11. Mechaniczny model elektrodynamiki 238 4. Wektorowa przestrzeń Minkowskiego 247 4.1. Konstrukcja wektorowej przestrzeni Minkowskiego 247 4.2. Wektory kauzalne 252 4.2.1. Definicje 252 4.2.2. Nierówności Cauchy’ego–Buniakowskiego– Schwarza 256 4.3. Podprzestrzenie wektorowej przestrzeni Minkowskiego 257 4.4. Podprzestrzenie liniowe wymiaru 2 262 4.5. Przekształcenia Lorentza przestrzeni M4 264 4.6. Transformacje czynne i bierne 267 5. Czasoprzestrzeń Minkowskiego 270 5.1. Własności przestrzeni afinicznej 270 5.2. Afiniczna przestrzeń Minkowskiego 272 5.3. Liniowe podprzestrzenie czasoprzestrzeni 275 5.4. Trójkąty w czasoprzestrzeni 278 5.4.1. Płaszczyzna przestrzenna S2 278 5.4.2. Płaszczyzna czasowa T2 278 5.4.3. Płaszczyzna zerowa N2 282 5.4.4. Trójkąty prostokątne 283 5.5. Stożki świetlne i proste kauzalne 283 5.5.1. Własności stożków zerowych 283 5.5.2. Foliacja stożkowa 286 5.6. Tetrady nieortonormalne 288 5.6.1. Wprowadzenie 288 5.7. Fizyczny sens współrzędnych i hiperpowierzchni 293 5.8. Zmienne zerowe na płaszczyźnie Minkowskiego 297 5.9. Krzywoliniowe układy współrzędnych 298 5.10. Struktura kauzalna czasoprzestrzeni 306 5.11. Przekształcenia czasoprzestrzeni Minkowskiego - transformacje czynne 312 5.12. Transformacje bierne 314 5.13. Grupy Lorentza i Poincarégo 315 5.14. Automorfizm kauzalny i uniwersalność transformacji Lorentza 316 5.15. Transformacja Lorentza i współrzędne krzywoliniowe 321 6. Grupa Lorentza 325 6.1. Podstawowe własności macierzy Lorentza 325 6.2. Składowe grupy Lorentza 328 6.3. Dyskretne transformacje Lorentza 330 6.3.1. Inwersje podstawowe 330 6.3.2. Ogólne inwersje w czasoprzestrzeni 332 6.4. Powierzchnie tranzytywności 335 6.5. Objętość równoległościanu 336 6.6. Pseudoskalary i pseudowektory 338 6.6.1. Mechanika klasyczna 341 6.6.2. Teoria relatywistyczna 341 6.7. Wektory i wartości własne macierzy Lorentza 342 6.8. Małe grupy 346 6.9. Obroty przestrzenne 347 6.9.1. Pojęcia podstawowe 347 6.9.2. Obroty właściwe i grupa SO(3) 348 6.10. Boosty (pchnięcia) 354 6.10.1. Definicja i podstawowe własności 354 6.10.2. Ogólna postać boostu 358 6.11. Rozkład polarny 363 6.12. Obroty zerowe 365 6.13. Czasoprzestrzeń jako rozmaitość i pola wektorowe Killinga 371 6.13.1. Generatory transformacji Lorentza 371 6.13.2. Wyznaczenie grupy izometrii z pola Killinga 374 6.14. Wektory Killinga czasoprzestrzeni 378 6.15. Eksponencjalna postać macierzy Lorentza 382 6.16. Obrót Thomasa–Wignera 388 6.17. Grupa Lorentza i grupa SL(2, C) 393 6.17.1. Ogólna relacja obu grup 393 6.17.2. Grupa SU(2) i obroty przestrzenne 399 6.17.3. Macierze hermitowskie i boosty 400 6.17.4. Drugi rozkład polarny 402 6.18. Transformacje Lorentza i homografie 403 6.19. Wartości własne a grupa SL(2, C) 410 6.20. Klasyfikacja homografii 414 6.20.1. Transformacje eliptyczne 415 6.20.2. Transformacje hiperboliczne 416 6.20.3. Transformacje paraboliczne 416 6.20.4. Transformacje loksodromiczne 417 6.21. Kanoniczna postać niezdegenerowanej transformacji Lorentza 418 6.22. Izomorfizm grupy Lorentza i grupy SO(3, C) 420 7. Pomiary w czasoprzestrzeni 423 7.1. Synchronizacja zegarów w ruchu względnym 423 7.2. Chronometria 425 7.3. Prędkości względne 427 7.4. Niewidzialność kontrakcji lorentzowskiej 428 7.4.1. Problem obserwowalności kontrakcji 428 7.4.2. Transformacje sfery niebieskiej 430 7.5. Paradoksy kinematyczne 435 7.5.1. Paradoksy ruchu jednostajnego prostoliniowego i obrotowego 435 7.5.2. Paradoksy ruchu przyspieszonego 438 7.5.3. Ruchy jednostajne w dwu wymiarach 443 7.6. Paradoksy dynamiczne bryły sztywnej 445 7.7. Paradoksy momentów siły 448 7.8. Prędkości nadświetlne w zwykłej materii 451 7.8.1. Postawienie problemu 451 7.8.2. Prędkości pakietów falowych w ośrodkach z dyspersją 452 7.8.3. Sygnały na frontach falowych 454 7.8.4. Światło w ośrodkach anomalnych 458 7.8.5. Efekt Scharnhorsta 458 7.9. Tachiony 460 7.9.1. Tachiony jako cząstki klasyczne 461 7.9.2. Tachiony jako pola fizyczne 464 7.9.3. Tachionowy antytelefon 465 Uzupełnienia 467 A. Pseudoinercjalny układ odniesienia w czasoprzestrzeni ultrastatycznej 467 B. Transformacja temperatury 473 C. Pomiary prędkości światła 475 C.1. Niezależność prędkości światła od prędkości i kierunku ruchu obserwatora względem wyróżnionego układu odniesienia 480 C.2. Niezależność prędkości światła od kierunku przy przelocie w jedną stronę 481 C.3. Niezależność prędkości światła od ruchu źródła względem eteru 482 C.4. Niezależność prędkości światła od częstości (energii) 484 D. Hiperboloidy w czasoprzestrzeni 485 D.1. Dwa rodzaje hiperboloid 485 D.2. Przestrzeń prędkości 490 E. Liniowość transformacji Lorentza 491 F. Granica nierelatywistyczna transformacji Lorentza 493 G. Tożsamość punktów czasoprzestrzeni i dyfeomorfizmy 496 H. Równoważność masy i energii a czarne dziury 505 I. Czterowektor entalpii cieczy doskonałej 506 J. Kowariantność i symetrie 509 Bibliografia 515 Skorowidz rzeczowy 520 Skorowidz nazwisk 527