Elementy teorii mnogości

• Druk: Łódź, 2018
• Autor: Marek Nowak
• Wydawca: Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego

Monografia zawiera najważniejsze elementy aksjomatycznej teorii mnogości Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru: aksjomatykę, definicje podstawowych pojęć, teorie relacji binarnych, częściowo porządkujących, równoważnościowych, funkcji, liczb porządkowych oraz liczb kardynalnych. Powstała na podstawie wieloletnich wykładów prowadzonych przez autora dla studentów filozofii Uniwersytetu Łódzkiego. Nie wymaga więc gruntownego przygotowania matematycznego, wystarcza pewne „wyrobienie” logiczne w zakresie umiejętności dowodzenia twierdzeń, a właściwie znajomość takich stałych logicznych, jak spójniki boolowskie i kwantyfikatory. Może służyć nie tylko matematykom i studentom matematyki, lecz także humanistom chcącym ugruntować swoją wiedzę o zbiorach, wykorzystywaną często w różnych zabiegach formalizacyjnych. Tym bardziej, że pewne wątki mają charakter filozoficzny, m.in. dyskusje na temat aksjomatu regularności i pojęcia ufundowania zbioru, relacji równoważnościowej, liczby porządkowej czy aksjomatu wyboru.

• Kategorie:
  1. Ebooki i Audiobooki »
  2. Ebooki »
  3. Ebooki popularnonaukowe i specjalistyczne »
  4. Filozofia
• Język wydania: polski
• ISBN: 978-83-8142-521-6
• ISBN druku: 978-83-8142-520-9
• Liczba stron: 176

Pobierz spis treści»

Wstęp	7
§1. Wprowadzenie do zagadnień teorii mnogości	7

Rozdział 1. Aksjomatyka ZFC i podstawowe pojęcia teoriomnogościowe 	11
§1. Aksjomaty teorii mnogości	11
§2. Inkluzja zbiorów	15
§3. Zbiór pusty	17
§4. Zbiór potęgowy danego zbioru	18
§5. Suma zbioru	20
§6. Para zbiorów, zbiór jednoelementowy	21
§7. Suma dwóch zbiorów	22
§8. Zbiór n-elementowy	23
§9. Iloczyn dwóch zbiorów	23
§10. Różnica zbiorów, dopełnienie zbioru	24
§11. Przekrój zbioru niepustego 	26
§12. Ciało zbiorów	27
§13. Algebra Boole’a	31

Rozdział 2. Zbiory nieufundowane. Aksjomat regularności	33
§1. Zbiory niemające elementu minimalnego	33
§2. Zbiory nieufundowane i ufundowane	36
§3. Dwie istotne własności zbiorów ufundowanych	41
§4. Aksjomat regularności i jego konsekwencje	42

Rozdział 3. Relacje binarne	45
§1. Para uporządkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów	45
§2. Pojęcie relacji binarnej	47
§3. Operacje na relacjach binarnych	48
§4. Relacje porządkujące	51
§5. Tranzytywne domknięcie relacji binarnej	53

Rozdział 4. Funkcje	57
§1. Funkcja jako relacja binarna. Złożenie funkcji	57
§2. Bijekcja, funkcja odwrotna	58
§3. Obraz i przeciwobraz zbioru	61
§4. Rodziny indeksowane	63

Rozdział 5. Zbiory częściowo uporządkowane	65
§1. Pojęcie zbioru częściowo uporządkowanego, elementy największy i najmniejszy oraz maksymalny i minimalny	65
§2. Zbiór liniowo uporządkowany, lemat Kuratowskiego-Zorna	68
§3. Pojęcie kraty	70
§4. Izomorfizm zbiorów częściowo uporządkowanych	74

Rozdział 6. Relacje równoważnościowe	79
§1. Krata relacji równoważności	79
§2. Klasa abstrakcji, zbiór ilorazowy, podział zbioru	82
§3. Relacje równoważności a podziały	85
§4. Relacje równoważności a funkcje	88

Rozdział 7. Liczby naturalne	91
§1. Arytmetyka elementarna	91
§2. Arytmetyka liczb naturalnych z dodawaniem i mnożeniem	93
§3. Pewne metalogiczne własności arytmetyk liczb naturalnych	96
§4. Operacja następnika w teorii ZFC	99
§5. Interpretacji arytmetyki elementarnej w teorii ZFC	102

Rozdział 8. Pojęcie liczby porządkowej	107
§1. Liczby naturalne a liczby porządkowe	107
§2. Zbiory tranzytywne	110
§3. Liczba naturalna jako liczba porządkowa	112
§4. Warianty definicyjne dla pojęcia liczby porządkowej 	113
§5. Twierdzenie o indukcji pozaskończonej	118
§6. Spójność relacji  oraz relacja inkluzji dla liczb porządkowych	119
§7. Najmniejsza liczba porządkowa x taka, że φ(x)	122

Rozdział 9. Zbiory liczb porządkowych. Liczby porządkowe izolowane i graniczne 	125
§1. Kresy względem  dowolnego zbioru liczb porządkowych 	125
§2. Kresy względem  dowolnego zbioru liczb porządkowych 	127
§3. Suma następnika i następnik sumy dowolnego zbioru liczb porządkowych 130
§4. Liczby porządkowe izolowane i graniczne	132
§5. Niepuste liczby porządkowe graniczne	140

Rozdział 10. Ciągi pozaskończone. Aksjomat wyboru	143
§1. Ciąg pozaskończony	143
§2. Funkcja definiowana przez indukcję pozaskończoną	144
§3. Aksjomat wyboru, funkcja wyboru	151
§4. Funkcja definiowana przez indukcję pozaskończoną wyznaczona przez funkcję wyboru dla dowolnego zbioru	156
§5. Funkcja definiowana przez indukcję pozaskończoną wyznaczona przez funkcję wyboru zbioru liczb porządkowych	161

Rozdział 11. Liczby kardynalne	163
§1. Równoliczność zbiorów	163
§2. Liczba kardynalna zbioru	164
§3. Liczby kardynalne liczb porządkowych	172
§4. Liczby kardynalne większe od ω	176

Bibliografia	179