Podstawy modelowania krzywych i powierzchni

• Druk: Warszawa, 2019
• Autor: Przemysław Kiciak
• Wydawca: Wydawnictwo Naukowe PWN

Publikacja Wydawnictwa WNT, dodruk Wydawnictwo Naukowe PWN.

Czytelnicy poprzednich wydań znajdą tu m.in. uzupełnienia na temat wymiernych trójkątnych płatów Béziera na sferze, wstawiania węzłów za pomocą algorytmu Lane’a–Riesenfelda i obliczania długości krzywych B-sklejanych oraz dokładniejszą analizę własności aproksymacyjnych kubicznych funkcji sklejanych.
Klasyczna teoria krzywych i powierzchni Béziera i B-sklejanych, a także opisy stosowanych w grafice komputerowej i w projektowaniu wspomaganym komputerem algorytmów ich przetwarzania zostały uzupełnione wiadomościami na temat powierzchni reprezentowanych przez siatki nieregularne. Znacznie rozbudowane rozdziały na temat ciągłości geometrycznej krzywych i powierzchni zawierają szczegółowy opis krzywych B-sklejanych, własności powierzchni granicznych otrzymanych przez zagęszczanie siatek, nową metodę gładkiego łączenia obciętych powierzchni B-sklejanych i doskonalszą konstrukcję powierzchni wypełniających wielokątne otwory, umożliwiającą przeprowadzanie optymalizacji kształtu takich powierzchni. Wzory i rozważania teoretyczne zostały w tej książce znakomicie zilustrowane na ponad 300 rysunkach.

• Kategorie:
  1. Ebooki i Audiobooki »
  2. Ebooki »
  3. Ebooki popularnonaukowe i specjalistyczne »
  4. Informatyka
• Język wydania: polski
• ISBN: 978-83-01-20350-4
• ISBN druku: 978-83-01-20350-4
• Liczba stron: 648

Przedmowa 13
Przedmowa do wydania trzeciego  17
0. Wiadomości wstępne  19
	0.1. Reprezentacje figur geometrycznych    19
	0.2. Reprezentacje krzywych i powierzchni parametrycznych    20
	0.3. Zadanie interpolacyjne Lagrange’a    24
		0.3.1. Algorytm Aitkena    24
		0.3.2. Własności wielomianowych krzywych interpolacyjnych     26
	0.4. Obcinanie narożników     27
1. Krzywe Béziera 29
	1.1. Algorytm de Casteljau     29
	1.2. Wielomiany Bernsteina     30
	1.3. Własności wielomianów Bernsteina    32
	1.4. Podwyższenie stopnia   36
	1.5. Blossoming    40
		1.5.1. Formy biegunowe i diagonalne  40
		1.5.2. Algorytm de Casteljau i podział krzywej     41
		1.5.3. Formy biegunowe i podwyższenie stopnia    45
	1.6. Pochodna krzywej Béziera    45
	1.7. Pochodne wyższego rzędu    47
	1.8. Łączenie krzywych Béziera    50
	1.9. Uzupełnienia  51
		1.9.1. Schemat Hornera w bazie wielomianów Bernsteina    51
		1.9.2. Obniżenie stopnia krzywej    52
		1.9.3. Formy biegunowe i pochodne  54
		1.9.4. Krzywizna i skręcenie krzywej Béziera    57
		1.9.5. Twierdzenie Menelaosa   60
		1.9.6. Twierdzenie aproksymacyjne Weierstrassa    61
2. Wymierne krzywe Béziera  63
	2.1. Krzywe jednorodne i wymierne  63
	2.2. Jednorodne i wymierne krzywe Béziera   65
	2.3. Kształtowanie wymiernych krzywych Béziera   68
	2.4. Własności wymiernych krzywych Béziera   69
	2.5. Podwyższenie i obniżenie stopnia    70
	2.6. Reparametryzacja krzywej wymiernej  71
	2.7. Pochodne krzywych wymiernych   72
	2.8. Łączenie wymiernych krzywych Béziera   73
	2.9. Uzupełnienia  74
		2.9.1. Dwustosunek i zasadnicze twierdzenie geometrii rzutowej    74
		2.9.2. Reprezentacja krzywej wymiernej przy użyciu punktów pomocniczych   75
		2.9.3. Reprezentacja krzywych stożkowych   77
		2.9.4. Obcinanie krzywych    79
		2.9.5. Rzutowanie krzywych  82
		2.9.6. Procedura rysowania krzywych   83
		2.9.7. Formy biegunowe krzywych wymiernych    88
		2.9.8. Krzywizna i skręcenie wymiernej krzywej Béziera    92
3. Trójkątne płaty Béziera  95
	3.1. Określenie płata trójkątnego    95
	3.2. Algorytm de Casteljau dla płatów trójkątnych   96
	3.3. Podział płata trójkątnego i blossoming  98
	3.4. Podwyższenie stopnia płata    100
	3.5. Pochodne płatów trójkątnych    101
	3.6. Łączenie płatów trójkątnych    104
	3.7. Wymierne trójkątne płaty Béziera    105
	3.8. Uzupełnienia  107
		3.8.1. Szybkie obliczanie punktów płata trójkątnego   107
		3.8.2. Formy biegunowe i krzywizny płata   108
		3.8.3. Reparametryzacja płata wymiernego   111
		3.8.4. Trójkąty na sferze    111
4. Tensorowe płaty Béziera  115
	4.1. Określenie płata   115
	4.2. Własności płatów wynikające z określenia tensorowego   116
		4.2.1. Wyznaczanie punktów płata    117
		4.2.2. Podwyższenie stopnia płata    119
		4.2.3. Pochodne cząstkowe płatów Béziera   120
		4.2.4. Podział płata Béziera    121
		4.2.5. Zasady łączenia płatów Béziera z ciągłościąCk   123
	4.3. Płaszczyzna styczna do płatów zdegenerowanych    124
	4.4. Wymierne prostokątne płaty Béziera    125
		4.4.1. Podstawowe własności płatów wymiernych   126
		4.4.2. Obliczanie pochodnych płata wymiernego    127
		4.4.3. Płaszczyzna styczna do płata wymiernego    128
	4.5. Uzupełnienia  130
		4.5.1. Przetwarzanie tablic punktów kontrolnych    130
		4.5.2. Znajdowanie tensorowej reprezentacji płatów  trójkątnych    133
		4.5.3. Swobodna deformacja  137
		4.5.4. Śledzenie promieni    141
		4.5.5. Wyznaczanie punktów przecięcia krzywych   147
		4.5.6. Rozwiązywanie układów równań algebraicznych     148
		4.5.7. Wyznaczanie przecięć powierzchni   159
5. Krzywe B-sklejane  173
	5.1. Konstrukcja gładko połączonych krzywych Béziera   175
	5.2. Zastosowanie różnic dzielonych   178
		5.2.1. Funkcje sklejane i baza obciętych potęg     178
		5.2.2. Określenie funkcji B-sklejanych   181
		5.2.3. Wzór Mansfielda–de Boora–Coxa   185
		5.2.4. Algorytm de Boora    186
		5.2.5. Własności funkcji i krzywych B-sklejanych   188
		5.2.6. Pochodne krzywej B-sklejanej  191
	5.3. Wstawianie węzłów   195
		5.3.1. Procedura wstawiania węzła    195
		5.3.2. Związek wstawiania węzła z algorytmem de Boora    199
		5.3.3. Zmiana bazy po wstawieniu węzła   200
		5.3.4. Usuwanie węzła    204
		5.3.5. Zastosowania procedury wstawiania węzła   205
	5.4. Blossoming    208
		5.4.1. Formy biegunowe funkcji i krzywych sklejanych     208
		5.4.2. Ciągłość funkcji sklejanych w węzłach     211
		5.4.3. Formy biegunowe i wstawianie węzłów     217
		5.4.4. Algorytm Oslo     217
		5.4.5. Zbieżność procesu wstawiania węzłów     222
		5.4.6. Podwyższenie stopnia  227
	5.5. Funkcje B-sklejane i sympleksy   228
		5.5.1. Funkcje miary przekroju   228
		5.5.2. Sympleksy i wielomiany Bernsteina   229
		5.5.3. Wielościany, wielomiany i funkcje sklejane   231
		5.5.4. Sympleksowa definicja funkcji B-sklejanych   232
		5.5.5. Związek sympleksów z różnicami dzielonymi   233
		5.5.6. Całkowanie funkcji B-sklejanych   239
		5.5.7. Ciągłość funkcji sklejanych w węzłach     239
		5.5.8. Rozkład jedynki    240
		5.5.9. Własność minimalnego no´snika   241
		5.5.10. Wstawianie węzła    242
		5.5.11. Podwyższenie stopnia  244
		5.5.12. Sympleksowy dowód wzoru Mansfielda–de Boora–Coxa     246
	5.6. Krzywe B-sklejane z węzłami równoodległymi     250
	5.7. Wymierne krzywe B-sklejane (krzywe NURBS)    255
	5.8. Uzupełnienia  260
		5.8.1. Krzywe zamknięte    260
		5.8.2. Interpolacyjne krzywe B-sklejane trzeciego stopnia    261
		5.8.3. Twierdzenie Schoenberga–Whitney   264
		5.8.4. Aproksymacyjne krzywe B-sklejane   266
		5.8.5. Obliczanie długości krzywych  268
6. Powierzchnie B-sklejane  271
	6.1. Określenie płata B-sklejanego  271
	6.2. Podstawowe własności płatów B-sklejanych   272
	6.3. Wymierne powierzchnie B-sklejane (powierzchnie NURBS)   274
	6.4. Przykłady konstrukcji płatów B-sklejanych   275
		6.4.1. Powierzchnie rozpinane   275
		6.4.2. Powierzchnie zakreślane   281
		6.4.3. Produkt sferyczny i powierzchnie obrotowe   284
	6.5. Powierzchnie reprezentowane przez siatki   286
		6.5.1. Płaty tensorowe z węzłami równoodległymi   286
		6.5.2. Siatki nieregularne    288
		6.5.3. Zagęszczanie siatek    289
		6.5.4. Elementy szczególne w siatkach   291
		6.5.5. Powierzchnia graniczna   292
	6.6. Uzupełnienia   294
		6.6.1. Momenty i twierdzenia Guldina   294
		6.6.2. Powierzchnie prostokreślne i rozwijalne     298
7. Krzywe i powierzchnie w reprezentacji Hermite’a  301
	7.1. Lokalne bazy Hermite’a    301
	7.2. Interpolacyjne krzywe sklejane trzeciego stopnia    303
		7.2.1. Związek reprezentacji Hermite’a i Béziera krzywych trzeciego stopnia    303
		7.2.2. Równania ciągłości pochodnej drugiego rzędu   304
		7.2.3. Warunki brzegowe    305
		7.2.4. Dobór węzłów dla krzywych interpolacyjnych   309
		7.2.5. Własność minimalnej energii    310
		7.2.6. Błąd aproksymacji dla interpolacyjnych funkcji sklejanych    312
	7.3. Płaty określone przez warunki interpolacyjne   317
		7.3.1. Płaty Coonsa   317
		7.3.2. Płaty bikubiczne w reprezentacji Hermite’a   322
		7.3.3. Konstrukcja powierzchni złożonych z płatów bikubicznych    324
		7.3.4. Płaty Gregory’ego    328
		7.3.5. Płaty Browna   331
8. Ciągłość geometryczna krzywych  333
	8.1. Pojęcie ciągłości geometrycznej   333
		8.1.1. Związek ciągłości parametryzacji z ciągłością˛ geometryczną    334
		8.1.2. Krzywe geometrycznie sklejane   335
	8.2. Równania ciągłości geometrycznej krzywych   337
		8.2.1. Wzór Fàa di Bruno    337
		8.2.2. Łączenie zreparametryzowanych krzywych   338
	8.3. Interpretacja ciągłości geometrycznej krzywych     342
	8.4. Krzywe γ -sklejane   345
	8.5. Krzywe β-sklejane   348
		8.5.1. Definicja   349
		8.5.2. Znajdowanie łuków wielomianowych krzywej β-sklejanej    350
		8.5.3. Konstrukcja funkcji β-sklejanych   352
		8.5.4. Istnienie i jednoznaczność funkcji β-sklejanych   358
		8.5.5. Krzywe β-sklejane z globalnymi parametrami połączenia     360
		8.5.6. Dalsze własności i przykłady    362
		8.5.7. Wstawianie węzłów    365
	8.6. Krzywe ν-sklejane   367
	8.7. Tensorowe powierzchnie geometrycznie sklejane    369
9. Ciągłość geometryczna powierzchni  371
	9.1. Równania ciągłości geometrycznej    371
		9.1.1. Uogólniony wzór Fàa di Bruno  371
		9.1.2. Równania ciągłości geometrycznej połączenia pary płatów    372
	9.2. Interpretacja ciągłości geometrycznej powierzchni    375
	9.3. Równania ciągłości dla płatów wielomianowych     377
		9.3.1. Podstawy algebraiczne  377
		9.3.2. Rozwiązania równań ciągłości   380
	9.4. Konstrukcja pary gładko połączonych płatów   385
		9.4.1. Konstrukcja pary płatów wielomianowych połączonych z ciągłością G1    387
		9.4.2. Konstrukcja pary płatów wielomianowych połączonych z ciągłością˛G2    390
		9.4.3. Konstrukcja pary gładko połączonych płatów wymiernych    391
	9.5. Geometrycznie ciągłe powierzchnie wypełniające    394
		9.5.1. Wypełnianie przerwy między płatami B-sklejanymi    394
		9.5.2. Powierzchnie wypełniające dla płatów obciętych     399
	9.6. Ciągłość geometryczna powierzchni granicznych    407
	9.7. Warunki zgodności G1 we wspólnym narożniku    411
		9.7.1. Lokalne warunki zgodności G1   412
		9.7.2. Globalne warunki zgodności G1   414
	9.8. Warunki zgodności drugiego i wyższych rzędów    419
		9.8.1. Lokalne warunki zgodności G2   419
		9.8.2. Funkcje sklejane dwóch zmiennych   422
		9.8.3. Trygonometryczne funkcje sklejane   430
		9.8.4. Trygonometryczne funkcje sklejane i warunki zgodności G1    434
		9.8.5. Trygonometryczne funkcje sklejane i warunki zgodności G2    437
	9.9. Wypełnianie wielokątnych otworów    450
		9.9.1. Schemat Hahna    450
		9.9.2. Podstawy teoretyczne    452
		9.9.3. Konstrukcja przestrzeni klasy G1 i G2   456
		9.9.4. Minimalizacja form kwadratowych   473
		9.9.5. Optymalizacja kształtu  482
		9.9.6. Przykładowe wyniki    487
A. Przegląd podstawowych pojęc´ algebry liniowej  491
	A.1. Przestrzenie liniowe   491
		A.1.1. Macierze   493
		A.1.2. Układy współrzędnych  494
		A.1.3. Przekształcenia liniowe  495
		A.1.4. Funkcjonały i przestrzeń sprzężona   496
		A.1.5. Normy   496
		A.1.6. Iloczyny skalarne    497
		A.1.7. Przekształcenia izometryczne   499
		A.1.8. Wyznaczniki   499
		A.1.9. Iloczyny wektorowe i zewnętrzne   501
		A.1.10. Interpretacja geometryczna funkcjonału    503
		A.1.11. Układy równań liniowych    504
		A.1.12. Algebraiczne zagadnienia własne   508
	A.2. Przestrzenie afiniczne   509
		A.2.1. Współrzędne kartezjańskie i jednorodne    511
		A.2.2. Współrzędne barycentryczne    512
		A.2.3. Przekształcenia afiniczne   515
		A.2.4. Przekształcenia afiniczne przestrzeni trójwymiarowej   517
		A.2.5. Mierzenie zbiorów    524
B. Działania na wielomianach w bazach Bernsteina  529
	B.1. Działania na wielomianach    529
		B.1.1. Mnożenie i dzielenie    529
		B.1.2. Mnożenie wielomianów wielu zmiennych    532
		B.1.3. Dodawanie i odejmowanie    532
		B.1.4. Algorytm Euklidesa    533
		B.1.5. Obliczanie iloczynu skalarnego   534
	B.2. Działania na funkcjach wektorowych    535
		B.2.1. Mnożenie wielomianu i krzywej   535
		B.2.2. Wyznaczanie płatów Béziera opisujących wektory normalne    537
	B.3. Działania na funkcjach sklejanych    543
		B.3.1. Mnożenie funkcji sklejanych    543
		B.3.2. Obliczanie iloczynu skalarnego   544
C. Elementy geometrii różniczkowej 545
	C.1. Krzywizny krzywych   545
		C.1.1. Parametryzacja łukowa  545
		C.1.2. Równania Freneta    546
		C.1.3. Krzywizna krzywej płaskiej    548
		C.1.4. Krzywizny krzywej przestrzennej   549
	C.2. Krzywizny powierzchni     550
		C.2.1. Różniczki płata     550
		C.2.2. Pierwsza i druga forma podstawowa   552
		C.2.3. Krzywizna normalna powierzchni   554
		C.2.4. Krzywizny i kierunki główne powierzchni    556
		C.2.5. Klasyfikacja punktów powierzchni   557
D. Różnice dzielone  559
	D.1. Schemat Hornera i bazy Newtona    560
	D.2. Określenie i własności różnic dzielonych   562
	D.3. Algorytm różnic dzielonych    565
	D.4. Reszta interpolacyjna   567
	D.5. Wzór Leibniza   568
	D.6. Różnice dzielone, sympleksy i funkcje B-sklejane    569
E. Metody numeryczne  571
	E.1. Arytmetyka zmiennopozycyjna  571
		E.1.1. Uwagi o błędach reprezentacji i zaokrągleń   572
	E.2. Rozwiązywanie równań liniowych    575
		E.2.1. Układy z macierzą trójkątną    575
		E.2.2. Eliminacja Gaussa    576
		E.2.3. Inne metody   580
	E.3. Rozwiązywanie liniowych zadań najmniejszych kwadratów    582
		E.3.1. Zadania regularne    582
		E.3.2. Zadania dualne     585
		E.3.3. Zadania regularne z więzami    586
	E.4. Rozwiązywanie równań nieliniowych  587
		E.4.1. Metoda bisekcji     589
		E.4.2. Metoda Newtona    591
		E.4.3. Metoda Newtona dla układów równań   593
		E.4.4. Metoda siecznych    596
	E.4.5. Regula falsi i algorytm Illinois  597
	E.5. Algebraiczne zagadnienie własne   601
	E.6. Optymalizacja  602
		E.6.1. Minimalizacja funkcji jednej zmiennej   602
		E.6.2. Minimalizacja gładkiej funkcji wielu zmiennych     603
F. Wizualizacja kształtu powierzchni  605
	F.1. Funkcje kształtu i ich warstwice   606
		F.1.1. Własności warstwic    606
		F.1.2. Przekroje płaskie powierzchni   607
		F.1.3. Lambertowskie odbicie światła i izofoty     608
		F.1.4. Linie odblasku     610	
		F.1.5. Krzywizny powierzchni   614
	F.2. Krzywe charakterystyczne    615
		F.2.1. Całkowanie krzywych charakterystycznych   615
		F.2.2. Warstwice i linie najszybszego spadku funkcji kształtu   617
		F.2.3. Linie krzywiznowe    619
Literatura  621
Skorowidz 637