Wstęp do mechaniki kwantowej

„Można śmiało powiedzieć, że nikt nie rozumie mechaniki kwantowej” - zauważył Richard Feynman. I zapewne nie jest to przesadzone stwierdzenie. Teoria kwantowa jest nie tylko bogata koncepcyjnie, ale również trudna technicznie. Oznacza gwałtowne i rewolucyjne odejście od klasycznych idei i przywołanie zupełnie nowego i radykalnie sprzecznego z intuicją sposobu myślenia o świecie. To jednak sprawia, że jest to tak fascynującą dziedziną. Celem tej książki jest nauczenie Czytelnika, jak „zajmować się” mechaniką kwantową. Może być śmiało stosowana jako podręcznik na przedmiotach związanych z mechaniką kwantową. Część I obejmuje podstawowy teoretyczne, w części II zawarto zbiór schematów aproksymacji z przykładowymi zastosowaniami.

Spis treści

Przedmowa XI Część I. Teoria 1 1 Funkcja falowa 3 1.1 Równanie Schrödingera 3 1.2 Interpretacja statystyczna 4 1.3 Prawdopodobieństwo 8 1.3.1 Zmienne dyskretne 8 1.3.2 Zmienne ciągłe 12 1.4 Normalizacja 15 1.5 Pęd 17 1.6 Zasada nieoznaczoności 20 Dodatkowe zadania do rozdziału 1 22 2 Niezależne od czasu równanie Schrödingera 27 2.1 Stany ustalone 27 2.2 Nieskończona kwadratowa studnia kwantowa 33 2.3 Oscylator harmoniczny 42 2.3.1 Metoda algebraiczna 44 2.3.2 Metoda analityczna 51 2.4 Cząstka swobodna 59 2.5 Studnia potencjału w kształcie funkcji delta 66 2.5.1 Stany związane i stany rozproszeniowe 66 2.5.2 Studnia potencjału w kształcie funkcji delta Diraca 68 2.6 Skończona kwadratowa studnia potencjału 75 Dodatkowe zadania do rozdziału 2 82 3 Formalizm 97 3.1 Przestrzeń Hilberta 97 3.2 Obserwable 100 3.2.1 Operatory hermitowskie 100 3.2.2 Stany zdeterminowane 102 3.3 Funkcje własne operatora hermitowskiego 104 3.3.1 Widma dyskretne 104 3.3.2 Widmo ciągłe 106 3.4 Uogólniona interpretacja statystyczna 109 3.5 Zasada nieoznaczoności 112 3.5.1 Dowód ogólnej zasady nieoznaczoności 112 3.5.2 Pakiet falowy minimalizujący zasadę nieoznaczoności 115 3.5.3 Zasada nieoznaczoności energii-czasu 116 3.6 Wektory i operatory 121 3.6.1 Bazy w przestrzeni Hilberta 121 3.6.2 Notacja Diraca 125 3.6.3 Zmiana bazy w notacji Diraca 129 Dodatkowe zadania do rozdziału 3 131 4 Mechanika kwantowa w trzech wymiarach 139 4.1 Równanie Schrödingera 139 4.1.1 Współrzędne sferyczne 141 4.1.2 Równanie kątowe 142 4.1.3 Równanie radialne 147 4.2 Atom wodoru 151 4.2.1 Radialna funkcja falowa 152 4.2.2 Widmo wodoru 164 4.3 Moment pędu 166 4.3.1 Wartości własne 166 4.3.2 Funkcje własne 172 4.4 Spin 175 4.4.1 Spin 1/2 177 4.4.2 Elektron w polu magnetycznym 182 4.4.3 Dodawanie momentów pędu 186 4.5 Oddziaływania elektromagnetyczne 191 4.5.1 Minimalne sprzężenie 191 4.5.2 Efekt Aharonova–Bohma 193 Dodatkowe zadania do rozdziału 4 197 5 Identyczne cząstki 209 5.1 Systemy dwucząstkowe 209 5.1.1 Bozony i fermiony 212 5.1.2 Siły wymiany 214 5.1.3 Spin 217 5.1.4 Uogólniona zasada symetryzacji 218 5.2 Atomy 221 5.2.1 Hel 222 5.2.2 Układ okresowy 225 5.3 Ciała stałe 228 5.3.1 Gaz elektronów swobodnych 229 5.3.2 Struktura pasmowa 233 Dodatkowe zadania do rozdziału 5 239 6 Symetrie i prawa zachowania 245 6.1 Wstęp 245 6.1.1 Transformacja w przestrzeni 246 6.2 Operator translacji 248 6.2.1 Jak działa operator translacji 249 6.2.2 Symetria translacyjna 252 6.3 Prawa zachowania 256 6.4 Parzystość 257 6.4.1 Parzystość w jednym wymiarze 257 6.4.2 Parzystość w trzech wymiarach 259 6.4.3 Reguły wyboru parzystości 261 6.5 Symetria obrotowa 262 6.5.1 Obrót wokół osi z 262 6.5.2 Obroty w trzech wymiarach 264 6.6 Degeneracja 267 6.7 Reguły wyboru obrotów 270 6.7.1 Reguły wyboru dla operatorów skalarnych 270 6.7.2 Zasady wyboru dla operatorów wektorowych 273 6.8 Translacja w czasie 278 6.8.1 Obraz Heisenberga 279 6.8.2 Niezmienność translacji w czasie 282 Dodatkowe zadania do rozdziału 6 284 Część II. Zastosowania 293 7 Rachunek zaburzeń zależnych od czasu 295 7.1 Rachunek zaburzeń bez degeneracji 295 7.1.1 Ogólne sformułowanie 295 7.1.2 Rachunek pierwszego rzędu 297 7.1.3 Energie drugiego rzędu 301 7.2 Rachunek zaburzeń z degeneracją 303 7.2.1 Podwójna degeneracja 303 7.2.2 „Dobre” stany 309 7.2.3 Degeneracja wyższego rzędu 311 7.3 Struktura subtelna wodoru 313 7.3.1 Korekta relatywistyczna 314 7.3.2 Sprzężenie spinowo-orbitalne 317 7.4 Efekt Zeemana 322 7.4.1 Efekt Zeemana w słabym polu 323 7.4.2 Efekt Zeemana w silnym polu 326 7.4.3 Efekt Zeemana w średnim polu 327 7.5 Rozszczepienie nadsubtelne dla wodoru 329 Dodatkowe zadania do rozdziału 7 332 8 Zasada wariacyjna 347 8.1 Teoria 347 8.2 Stan podstawowy helu 353 8.3 Jon wodoru cząsteczkowego 357 8.4 Cząsteczka wodoru 362 Dodatkowe zadania do rozdziału 8 368 9 Przybliżenie WKB 377 9.1 Obszar „klasyczny” 378 9.2 Zjawisko tunelowania 382 9.3 Warunki zszycia 387 Dodatkowe zadania do rozdziału 9 395 10 Rozpraszanie 401 10.1 Wstęp 401 10.1.1 Klasyczna teoria rozpraszania 401 10.1.2 Kwantowa teoria rozpraszania 404 10.2 Analiza fal składowych 406 10.2.1 Formalizm 406 10.2.2 Strategia 409 10.3 Przesunięcia fazowe 411 10.4 Przybliżenie Borna 414 10.4.1 Całkowa postać równania Schrödingera 414 10.4.2 Pierwsze przybliżenie Borna 418 10.4.3 Szeregi Borna 422 Dodatkowe zadania do rozdziału 10 423 11 Dynamika kwantowa 429 11.1 Układy dwustanowe 430 11.1.1 Układ zaburzony 431 11.1.2 Rachunek zaburzeń zależny od czasu 433 11.1.3 Zaburzenia sinosuidalne 436 11.2 Emisja i absorpcja promieniowania 439 11.2.1 Fale elektromagnetyczne 439 11.2.2 Pochłanianie, emisja wymuszona i emisja spontaniczna 440 11.2.3 Zaburzenia niekoherentne 442 11.3 Emisja spontaniczna 445 11.3.1 Współczynniki A i B Einsteina 445 11.3.2 Czas życia stanu wzbudzonego 447 11.3.3 Reguły wyboru 449 11.4 Złota reguła Fermiego 451 11.5 Przybliżenie adiabatyczne 456 11.5.1 Proces adiabatyczny 456 11.5.2 Twierdzenie adiabatyczne 458 Dodatkowe zadania do rozdziału 11 463 12 Posłowie 477 12.1 Paradoks EPR 478 12.2 Twierdzenie Bella 480 12.3 Stany mieszane i macierz gęstości 486 12.3.1 Stany czyste 486 12.3.2 Stany mieszane 488 12.3.3 Podsystemy 490 12.4 Twierdzenie o nieklonowaniu 491 12.5 Kot Schrödingera 493 Dodatek Algebra liniowa 497 A.1 Wektory 497 A.2 Iloczyn wewnętrzny 500 A.3 Macierze 501 A.4 Zmiana bazy 507 A.5 Wektory własne i wartości własne 509 A.6 Transformacje hermitowskie 516