Układy dynamiczne
Wydawnictwo Naukowe PWN przedstawia podręcznik związany z analizą układów dynamicznych, którą można wykorzystać w różnych aspektach zagadnień – zarówno gospodarczych, fizycznych czy społecznych. Podręcznik
Układy dynamiczne w modelowaniu procesów przyrodniczych, społecznych i technologicznych wprowadza Czytelnika w świat wykorzystania równań różniczkowych w takich dyscyplinach jak biologia, chemia, inżynieria, ekonomia czy nauki społeczne. Cytując Autorów: „Wybraliśmy zatem formę
przewodnika po klasycznych układach dynamicznych i ich zastosowaniach. Prezentując główne wyniki tej teorii, często rezygnowaliśmy z podawania ich formalnych dowodów, a w zamian staraliśmy się wyjaśniać ich istotę: dlaczego one zachodzą, jakie jest znaczenie poszczególnych założeń, dlaczego są one potrzebne i jak wpływają na zastosowania. Takie podejście i wybór tematów wynikający z zainteresowań autorów powodują, że narracja książki nie jest jednostajna i niektóre zagadnienia omówione są z detalami, a niektóre, być może równie ważne, opracowano mniej szczegółowo. Jednakże mamy nadzieję, że wadę tę kompensuje włączenie do książki tematów nieczęsto spotykanych w standardowych podręcznikach równań różniczkowych (…). W związku z tym nasza monografia powinna zapełnić pewne luki w polskojęzycznej literaturze przedmiotu.” Autorami tej wyjątkowej pozycji są
naukowcy Politechniki Łódzkiej – prof. dr hab. inż. Jacek Banasiak oraz dr hab. Katarzyna Szymańska-Dębowska, prof. PŁ. Publikację
Układy dynamiczne w modelowaniu procesów przyrodniczych, społecznych i technologicznych kierujemy do pracowników naukowych, doktorantów i studentów starszych lat różnych wydziałów uczelni technicznych, ale również uniwersyteckich takich jak matematyka, informatyka, fizyka, chemia, biologia, automatyka i robotyka, ekonomia i inne, zainteresowanych zastosowaniami układów dynamicznych w różnych dziedzinach nauk stosowanych.
Znaczenie praktyczne modelowania za pomocą równań różniczkowych istotnie wzrosło wraz z rozwojem metod numerycznych i mocy obliczeniowej komputerów umożliwiających efektywne rozwiązywanie równań różniczkowych w sposób przyjazny dla użytkownika. Błędem jest jednak natychmiastowe zastosowanie narzędzi obliczeniowych do otrzymanego w procesie modelowania równania różniczkowego bez próby jego przeanalizowania i wydedukowania jego własności na podstawie struktury równania. Na przykład udowodnienie, że otrzymane równanie w ogóle ma rozwiązanie, pokazuje, że przy konstruowaniu równania nie wykorzystano wzajemnie wykluczających się założeń. Jednoznaczność rozwiązań zapewnia, że procedura numeryczna nie będzie „skakać” pomiędzy rożnymi rozwiązaniami, a ciągłość rozwiązań względem małych zaburzeń danych pozwala na użycie metod numerycznych, które przecież operują tylko przybliżonymi danymi. Niezależnie od tych podstawowych korzyści znajomość ogólnych własności rozwiązań pozwala z jednej strony uniknąć wielu błędów, z drugiej zaś strony umożliwia uproszczenie procedur numerycznych. W związku z tym w niniejszej książce skupimy się na teorii równań różniczkowych i pominiemy jej aspekt numeryczny. (…)
Wybraliśmy zatem formę przewodnika po klasycznych układach dynamicznych i ich zastosowaniach. Prezentując główne wyniki tej teorii, często rezygnowaliśmy z podawania ich formalnych dowodów, a w zamian staraliśmy się wyjaśniać ich istotę: dlaczego one zachodzą, jakie jest znaczenie poszczególnych założeń, dlaczego są one potrzebne i jak wpływają na zastosowania.
Takie podejście i wybór tematów wynikający z zainteresowań autorów powodują, że narracja książki nie jest jednostajna i niektóre zagadnienia omówione są z detalami, a niektóre, być może równie ważne, opracowano mniej szczegółowo. Jednakże mamy nadzieję, że wadę tę kompensuje włączenie do książki tematów nieczęsto spotykanych w standardowych podręcznikach równań różniczkowych takich jak pochodne Diniego i nierówności różniczkowe, układy monotoniczne i nieujemność rozwiązań, nierożniczkowalne funkcje Lapunowa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lapunowa, osobliwie zaburzone układy równań różniczkowych, jednostajne na [0,∞) twierdzenie Tichonowa i rozwiązania typu canard, omówienie fal biegnących i tzw. metody tangensa hiperbolicznego ich konstruowania w kontekście teorii układów dynamicznych oraz tzw. metoda macierzy następnego pokolenia w epidemiologii matematycznej. W związku z tym nasza monografia powinna zapełnić pewne luki w polskojęzycznej literaturze przedmiotu.
Fragment wstępu
Wstęp 9
1. Wybrane fakty z analizy i algebry liniowej 11
1.1. Podstawowe pojęcia i definicje 11
1.1.1. Symbole Landaua O i o 13
1.2. Macierze 14
1.2.1. Funkcje macierzy 14
1.2.2. Wartości i wektory własne macierzy 16
1.2.3. Dodatniość w przestrzeniach wektorowych 23
1.2.4. Macierze Metzlera i twierdzenie Perrona-Frobeniusa 24
1.3. Uogólnienia pojęcia różniczkowalności 30
1.4. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych 33
1.4.1. Twierdzenie Taylora 34
1.5. Twierdzenie o funkcji uwikłanej 35
2. Równania różniczkowe i różnicowe 37
2.1. Równania różnicowe 37
2.1.1. Liniowe równanie różnicowe 38
2.1.2. Równania różnicowe sprowadzalne do równania liniowego 40
2.2. Przegląd równań różniczkowych zwyczajnych mających jawne rozwiązania 44
2.2.1. Równania o zmiennych rozdzielonych 45
2.2.2. Równania liniowe 53
2.2.3. Wybrane równania wyższych rzędów 55
2.2.4. Równania redukowalne do równań pierwszego rzędu 56
3. Zagadnienie Cauchy’ego 65
3.1. Podstawowe pojęcia 65
3.2. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań 66
3.2.1. Pojęcia i wyniki pomocnicze 66
3.2.2. Twierdzenie Picarda-Lindelöfa 68
3.2.3. Przedłużanie rozwiązań 70
3.2.4. Rozwiązalność układów równań liniowych 76
3.2.5. Inne twierdzenia o istnieniu rozwiązań 86
3.2.6. Ciągła zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów 89
3.2.7. Nieujemność rozwiązań 92
3.2.8. Nieujemność rozwiązań układów równań liniowych 93
3.3. Nierówności różniczkowe 94
4. Układy dynamiczne 107
4.1. Pojęcia podstawowe 107
4.2. Długookresowa dynamika układów liniowych 109
4.3. Trajektorie, portrety fazowe i zbiory graniczne 114
4.3.1. Trajektorie i ich własności 114
4.3.2. Elementarne metody szkicowania portretów fazowych 117
4.3.3. Zbiory graniczne 126
4.4. Stabilność rozwiązań 130
4.5. Topologiczna równoważność układów dynamicznych 140
5. Funkcja Lapunowa i jej uogólnienia 145
5.1. Lokalna stabilność punktu stałego 145
5.2. Globalna stabilność punktu stałego 153
5.3. Zasada LaSalle’a 157
5.4. Stabilność brzegowych punktów stałych 160
5.5. Nieróżniczkowalne funkcje Lapunowa 164
5.6. Twierdzenia odwrotne do twierdzenia Lapunowa i ich zastosowania 172
6. Dalsze aspekty teorii układów dynamicznych 183
6.1. Rozmaitość stabilna, niestabilna, centralna 183
6.2. Odwzorowanie Poincarégo 203
6.3. Twierdzenie Poincarégo-Bendixona 209
6.4. Kryterium Bendixona i uogólnienie Dulaca 218
6.5. Bifurkacje 225
6.5.1. Bifurkacje lokalne 225
6.5.2. Bifurkacja Hopfa 230
6.5.3. Bifurkacje globalne 237
7. Modele wieloskalowe i zaburzone układy równań różniczkowych 245
7.1. Twierdzenie Tichonowa 247
7.2. Jednostajne twierdzenie Tichonowa 252
7.3. Opóźniona wymiana stabilności 257
7.3.1. Bifurkacja transkrytyczna 259
7.3.2. Bifurkacja widłowa 263
7.3.3. Bifurkacja wsteczna 264
8. Fale wędrujące 275
8.1. Fale wędrujące w kontekście układów dynamicznych 276
8.2. Metody konstrukcji rozwiązań w postaci fal wędrujących 294
8.2.1. Metoda tangensa hiperbolicznego i jej uogólnienia 295
8.2.2. Potrzebne i niepotrzebne uogólnienia 300
9. Podstawowa liczba reprodukcyjna 305
9.1. Dodatkowe własności macierzy Metzlera 305
9.2. Definicja podstawowej liczby reprodukcyjnej 306
9.2.1. Macierz następnego pokolenia 306
9.3. Matematyczna definicja R0 309
9.4. R0 a lokalna i globalna stabilność DFE 322
Skorowidz 335
Bibliografia 339
