Algebra liniowa

Jest to najnowsza wersja podstawy wykładów i ćwiczeń dla studentów informatyki, prowadzonych przez autora na Uniwersytecie Gdańskim, Politechnice Gdańskiej i w Państwowej Wyższej Szkole Zawodowej w Elblągu.
Treść obejmuje: podstawowe struktury algebraiczne, liczby zespolone, wielomiany, macierze, układy równań liniowych, wyznaczniki, przestrzeń wektorową, przekształcenia liniowe, iloczyn skalarny i ortogonalność wektorów, wartości własne, formy kwadratowe i elementy geometrii analitycznej.
Teorię przedstawiono w sposób czytelny i ścisły, dowodząc prawie wszystkie twierdzenia. Ważniejsze pojęcia, twierdzenia i metody algebry liniowej zilustrowane są w ponad 300 rozwiązanych przykładach. Do zrozumienia materiału wystarczą standardowe wiadomości i umiejętności matematyczne na poziomie szkoły średniej.

Spis treści

Przedmowa 7 Rozdział 1. Podstawowe struktury algebraiczne 9 1.1 . Działania i ich własności 9 1.2 . Grupa i jej podgrupy 12 1.3 . Pierścień i ciało 17 1.4 . Ćwiczenia podsumowujące 20 Rozdział 2. Liczby zespolone 21 2.1 . Liczby zespolone i działania na liczbach zespolonych 21 2.2 . Sprzężenie liczby zespolonej 26 2.3 . Moduł liczby zespolonej 27 2.4 . Postać trygonometryczna liczby zespolonej 29 2.5 . Pierwiastkowanie liczb zespolonych 35 2.6 . Wzory Eulera 40 2.7 . Postać wykładnicza liczby zespolonej 43 2.8 . Ćwiczenia podsumowujące 44 Rozdział 3. Wielomiany 46 3.1 . Pierścień wielomianów 46 3.2 . Podzielność wielomianów 49 3.3 . Schemat Hornera 52 3.4 . Pierwiastki wielomianów 54 3.5 . Wielomiany względnie pierwsze 62 3.6 . Funkcje wymierne i ułamki proste 64 3.7 . Ćwiczenia podsumowujące 71 Rozdział 4. Macierze 73 4.1 . Podstawowe Definicje 73 4.2 . Działania na macierzach 75 4.3 . Macierz odwrotna 85 4.4 . Ślad macierzy kwadratowej 90 4.5 . Ćwiczenia podsumowujące 92 Rozdział 5. Układy równań liniowych 94 5.1 . Podstawowe Definicje i fakty 94 5.2 . Równania macierzowe 109 5.3 . Kolejne własności macierzy odwracalnej 112 5.4 . Wyznaczanie macierzy odwrotnej 114 5.5 . Struktura rozwiązań układu równań liniowych 116 5.6 . Ćwiczenia podsumowujące 118 Rozdział 6. Wyznaczniki 121 6.1 . Definicja i pierwsze własności wyznacznika 121 6.2 . Wyznacznik iloczynu macierzy 134 6.3 . Macierze odwracalne i nieosobliwe 136 6.4 . Wyznacznik macierzy podobnych 139 6.5 . Układy równań i wzory Cramera 139 6.6 . Ćwiczenia podsumowujące 143 Rozdział 7. Przestrzeń wektorowa 146 7.1 . Przestrzeń wektorowa i jej podprzestrzenie 146 7.2 . Kombinacje liniowe wektorów 153 7.3 . Przestrzeń kolumnowa macierzy 157 7.4 . Liniowa zależność i liniowa niezależność wektorów 161 7.5 . Baza przestrzeni wektorowej 167 7.6 . Rząd macierzy 176 7.7 . Współrzędne wektora 179 7.8 . Suma i suma prosta podprzestrzeni 188 7.9 . Ćwiczenia podsumowujące 192 Rozdział 8. Przekształcenie liniowe 194 8.1 . Definicja przekształcenia liniowego 194 8.2 . Jądro i obraz przekształcenia liniowego 200 8.3 . Mono- i epimor?czność przekształcenia liniowego 205 8.4 . Suma i złożenie przekształceń liniowych 208 8.5 . Macierz przekształcenia liniowego 209 8.6 . Odwracalność odwzorowania liniowego 217 8.7 . Podobieństwo macierzy 221 8.8 . Ćwiczenia podsumowujące 225 Rozdział 9. Iloczyn skalarny i ortogonalność wektorów 227 9.1 . Definicja i przykłady iloczynów skalarnych 227 9.2 . Kąt pomiędzy wektorami 233 9.3 . Ortogonalność wektorów 234 9.4 . Ortogonalizacja bazy 238 9.5 . Dopełnienie ortogonalne 240 9.6 . Rzut ortogonalny 242 9.7 . Macierz rzutu ortogonalnego 245 9.8 . Metoda najmniejszych kwadratów 248 9.9 . Najlepsze rozwiązanie układu równań 249 9.10 . Dopasowanie prostej 251 9.11 . Macierz i przekształcenie ortogonalne 253 9.12 . Ćwiczenia podsumowujące 256 Rozdział 10. Wartości własne i wektory własne 259 10.1 . Wartości własne i wektory własne macierzy i operatora 259 10.2 . Diagonalizowalność macierzy i operatora liniowego 265 10.3 . Diagonalizacja macierzy symetrycznej 273 10.4 . Potęga macierzy diagonalizowalnej 278 10.5 . Granica ciągu macierzy 279 10.6 . Podprzestrzenie niezmiennicze 282 10.7 . Twierdzenie Cayleya-Hamiltona 285 10.8 . Zależności rekurencyjne 289 10.9 . Ćwiczenia podsumowujące 293 Rozdział 11. Formy kwadratowe 295 11.1 . Rzeczywista forma kwadratowa 295 11.2 . Postać kanoniczna formy kwadratowej 297 11.3 . Określoność macierzy i formy kwadratowej 304 11.4 . Ćwiczenia podsumowujące 310 Rozdział 12. Elementy geometrii analitycznej 312 12.1 . Iloczyn wektorowy wektorów 312 12.2 . Iloczyn mieszany wektorów 315 12.3 . Prosta i płaszczyzna 317 12.4 . Ćwiczenia podsumowujące 332 Bibliogra?a 334 Indeks 335