Elementy teorii operatorów na przestrzeni Hilberta

• Druk: Warszawa, 2018
• Autor: Piotr Mikołaj Sołtan
• Wydawca: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego

Zwięzły wykład podstawowych zagadnień teorii operatorów na przestrzeniach Hilberta. Wśród omówionych tematów znajdują się: rachunek funkcyjny i twierdzenia spektralne, operatory zwarte, śladowe i Hilberta-Schmidta, samosprzężone rozszerzenia operatorów symetrycznych oraz jednoparametrowe grupy operatorów.

Dyskusja operatorów nieograniczonych oparta jest w znacznej mierze na narzędziu z teorii algebr operatorów – tak zwanej z-transformacie, która pozwala zakodować skomplikowane informacje o operatorach nieograniczonych w operatorach ograniczonych, dając w ten sposób możliwość uniknięcia wielu problemów technicznych. Publikacja przeznaczona jest dla studentów matematyki i fizyki oraz dla naukowców z tych dziedzin.

Przedstawiony wykład zakłada podstawową wiedzę z analizy matematycznej i algebry, a także z teorii funkcji analitycznych i podstaw analizy funkcjonalnej oraz teorii przestrzeni Hilberta.

Każdy rozdział kończą syntetyczne notatki ze źródłami zadań i przykładów oraz z możliwymi drogami dalszego rozwoju teorii.

*********

Elements of the Theory of Operators on Hilbert Space

The book provides a concise and self-contained exposition of introductory topics in the theory of operators on Hilbert spaces. The topics covered include functional calculus and various versions of spectral theorems both for bounded and unbounded operators, compact operators, the trace and trace-class and Hilbert-Schmidt operators, selfadjoint extensions of symmetric operators and one-parameter groups of unitary operators.

The treatment of un bounded operators is largely based on a tool from theory of operator algebras, the so called z-transform. The transform makes it possible to encode complicated information about unbounded operators by bounded ones and thus avoid many intricacies of standard approach.

The book is intended for students of mathematics and physics as well as scientists working in those areas. Prerequisites include basic knowledge of analysis, algebra, measure theory as well as analytic functions and rudiments of functional analysis and Hilbert spaces.

Each chapter ends with a brief note indicating sources for examples, exercise problems and further developments of the theory.

*********

Dr hab. Piotr Mikołaj Sołtan – ukończył Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Obecnie jest adiunktem w Katedrze Metod Matematycznych Fizyki na Wydziale Fizyki UW. Po doktoracie obronionym na tym wydziale odbył staże w Instytucie Matematycznym wydziału Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Wilhelma w Münster oraz w Instytucie Matematycznym Polskiej Akademii Nauk, gdzie w 2010 roku uzyskał stopień doktora habilitowanego na podstawie prac poświęconych zwartym grupom kwantowym definiowanym przez własności uniwersalne.
Autor prac z dziedziny grup kwantowych i edytor tomów "Quantum Groups and Non-commutative Geometry" oraz "Topological Quantum Groups", opublikowanych przez Banach Center Publications. Jego zainteresowania naukowe koncentrują się wokół teorii topologicznych grup kwantowych, nieprzemiennej geometrii i algebr operatorów.

• Kategorie:
  1. Ebooki i Audiobooki »
  2. Ebooki »
  3. Ebooki popularnonaukowe i specjalistyczne »
  4. Matematyka
• Język wydania: polski
• ISBN: 978-83-235-3414-3
• ISBN druku: 978-83-235-3406-8
• EAN: 9788323534143
• Liczba stron: 184

Pobierz spis treści»

Wstęp 9

Część 1. Operatory ograniczone 13
Rozdział 1. Widmo operatora 15
   1.1. C*-algebra operatorów na przestrzeni 
   Hilberta 15
   1.2. Widmo i promień spektralny 16
   1.3. Widmo w C*-algebrach 22
   Notatki 22

Rozdział 2. Rachunek funkcji ciągłych 23
   Notatki 27

Rozdział 3. Operatory dodatnie 28
   3.1. Operatory dodatnie 28
   3.2. Rzuty 33
   3.3. Częściowe izometrie 34
   3.4. Rozkład biegunowy 35
   3.5. Monotoniczna zbieżność operatorów 37
   Notatki 38

Rozdział 4. Twierdzenia spektralne i rachunek funkcyjny 39
   4.1. Operatory mnożenia 40
   4.2. Rachunek funkcji borelowskich 45
   4.3. Miary spektralne 48
   4.4. Rachunek funkcji holomorficznych 51
   4.5. Twierdzenia Fuglede i Putnama 56
   4.6. Rachunek funkcyjny w C*-algebrach 58
   Notatki 60

Rozdział 5. Operatory zwarte 62
   5.1. Operatory zwarte na przestrzeni Hilberta 62
   5.2. Alternatywa Fredholma 64
   Notatki 69

Rozdział 6. Ślad 70
   6.1. Definicja śladu 70
   6.2. Operatory śladowe i operatory Hilberta- 
   Schmidta 72
   6.3. Operatory Hilberta-Schmidta na L2 83
   Notatki 85

Rozdział 7. Rachunek funkcyjny dla rodzin operatorów 86
   7.1. Rachunek funkcji holomorficznych 86
   7.2. Rachunek funkcji ciągłych 90
   7.3. Wspólne widmo 91
   7.4. Rachunek funkcyjny dla operatorów normalnych 
   91
   Notatki 94

Część 2. Operatory nieograniczone 95
Rozdział 8. Operatory i ich wykresy 97
   8.1. Podstawy 97
   8.2. Operator sprzężony 100
   8.3. Operacje algebraiczne 102
   8.4. Widmo 105
   Notatki 106

Rozdział 9. z-transformata 107
   9.1. Operator T*T 107
   9.2. z-transformata operatora domkniętego 109
   9.3. Rozkład biegunowy 115
   Notatki 118

Rozdział 10. Twierdzenia spektralne 119
   10.1. Rachunek funkcji ciągłych 119
   10.2. Rachunek funkcji borelowskich 123
   10.3. Miara spektralna 127
   Notatki 133

Rozdział 11. Samosprzężone rozszerzenia operatorów symetrycznych 134
   11.1. Zawieranie operatorów w terminach z- 
   transformat 134
   11.2. Transformata Cayley'a 135
   11.3. Rozszerzenia Kreina i Friedrichsa 142
   Notatki 149

Rozdział 12. Jednoparametrowe grupy operatorów unitarnych 150
   12.1. Twierdzenie Stone'a 150
   12.2. Wzór Trottera 154
   Notatki 157

Część 3. Uzupełnienia 159
U.1. Twierdzenie Banacha-Steinhausa 161
U.2. Twierdzenie Dynkina 162
U.3. Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta 164
U.4. Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym 166
U.5. Przestrzenie i algebry ilorazowe 169

Wykaz oznaczeń 176
Literatura 179
Skorowidz 180