Matematyka dla biologów
Książka prowadzi Czytelnika od elementarnych pojęć matematyki do zagadnień bardziej zaawansowanych, wykorzystywanych przy tworzeniu modeli matematycznych w biologii i naukach pokrewnych. Szerokim zakresem obejmuje zagadnienia matematyki dyskretnej i rachunku prawdopodobieństwa wykorzystywane w filogenetyce oraz metody analizy matematycznej stosowane w biotechnologii i ekologii. Liczne przykłady i ilustracje czynią ją przystępnym podręcznikiem matematyki dla studentów biologii, biotechnologii, a także medycyny i nauk rolniczych. Jej istotnym uzupełnieniem jest zbiór zadań przygotowany przez Marka Bodnara.
Książka ta pomoże biologom w studiowaniu literatury biologicznej, w której coraz częściej wykorzystuje się nieelementarne modele matematyczne, może także ułatwić porozumienie i współpracę biologów z matematykami i fizykami.
Dr hab. Dariusz Wrzosek jest profesorem na Wydziale Matematyki Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Dorobek naukowy autora poświęcony jest badaniu i tworzeniu modeli matematycznych w naukach przyrodniczych.
Wstęp 9
1. Logika 13
1.1. Pojęcie zdania w logice 13
1.2. Podstawowe zdania złożone 15
1.3. Tautologie – prawa logiki 19
1.4. Wnioskowanie 22
1.5. Kwantyfikatory 23
2. Podstawy: zbiory, liczby, relacje 27
2.1. Matematyka jest nauką aksjomatyczną 28
2.2. Aksjomaty-pewniki 30
2.3. Operacje na zbiorach 31
2.4. Liczby naturalne 33
2.5. Liczby całkowite i wymierne 36
2.6. Liczby rzeczywiste 37
2.7. Liczby zespolone 41
2.8. Relacje 42
3. Zbiory nieskończone 47
3.1. Funkcje 47
3.2. Równoliczność zbiorów 49
4. Przestrzeń wektorowa. Metryka 56
4.1. Przestrzeń Rn 56
4.2. Macierze 59
4.3. Metryka 61
5. Funkcja potęgowa i wykładnicza. Logarytmy i ich zastosowania 68
5.1. Funkcje liniowe 68
5.2. Potęgowanie 70
5.3. Karły i olbrzymy 71
5.4. Funkcje potęgowe, funkcje wykładnicze, wielomiany 73
5.5. Logarytmy 74
5.6. Skala kwasowości pH, skala Richtera 78
5.7. Współrzędne log–log 79
5.8. Metoda najmniejszych kwadratów (regresji liniowej) 81
6. Matematyka dyskretna 86
6.1. Kombinatoryka 86
6.2. Grafy 90
6.3. Cykle w grafie 96
6.4. Drzewa filogenetyczne 99
7. Podstawy analizy matematycznej 104
7.1. Granica ciągu 104
7.2. Ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny 109
7.3. Szeregi liczbowe 111
8. Granica funkcji, ciągłość funkcji, pochodna funkcji 114
8.1. Granica funkcji 114
8.2. Ciągłość funkcji 116
9. Pochodna funkcji jednej zmiennej i jej własności 124
9.1. Definicja i interpretacja pochodnej funkcji 124
9.2. Obliczanie pochodnych 129
9.3. Ruch ciała, położenie, prędkość, przyspieszenie 131
10. Ekstrema funkcji, funkcje wypukłe, gradient funkcji wielu zmiennych 134
10.1. Twierdzenia Rolla i Lagrange’a 134
10.2. Równania nieliniowe 137
10.3. Minimum, maksimum funkcji 138
10.4. Zasada optymalizacji. Optymalne strategie żerowania 140
10.5. Przybliżanie wartości funkcji 145
10.6. Funkcja wypukła, funkcja wklęsła 147
10.7. Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych 152
11. Całki i krzywe 157
11.1. Funkcja pierwotna, całka 157
11.2. Całka oznaczona, pole obszaru 158
11.3. Całka niewłaściwa 164
11.4. Krzywe 165
11.5. Krzywa Kocha 170
12. Modele matematyczne w biologii 173
12.1. Co to jest model matematyczny 173
12.2. Weryfikacja modelu 175
12.3. Czas ciągły, czas dyskretny 176
12.4. Równanie Malthusa, wykładniczy wzrost populacji 178
12.5. Króliki Fibonacciego i liczba złotego podziału 183
13. Podstawowe modele wzrostu pojedynczej populacji w czasie ciągłym 188
13.1. Równanie różniczkowe, zmienne rozdzielone 188
13.2. Rozpad promieniotwórczy 193
13.3. Krzywa przeżywalności 194
13.4. Datowanie izotopem węgla 14C 197
13.5. Równanie logistyczne 198
13.6. Szacowanie liczebności populacji wg równania logistycznego 203
13.7. Eksploatacja zasobów pokarmowych 203
14. Modele oddziaływań międzypopulacyjnych w czasie ciągłym 208
14.1. Układy równańróżniczkowych 208
14.2. Portret fazowy 212
14.3. Stabilność stanu stacjonarnego 214
14.4. Konkurencja, drapieżnictwo, mutualizm (symbioza) 219
14.5. Kinetyka reakcji chemicznych, reakcja Lotki 224
15. Modele populacyjne z czasem dyskretnym i modele ze strukturą wieku 230
15.1. Model logistyczny z czasem dyskretnym, chaos deterministyczny 231
15.2. Równanie logistyczne – związek między modelem z czasem ciągłym a modelem z czasem dyskretnym 235
15.3. Wzrost populacji z uwzględnieniem struktury wieku 237
15.4. Demografia 239
15.5. Model wzrostu populacji roślin dwuletnich 241
16. Podstawy rachunku prawdopodobieństwa. Modele probabilistyczne I 244
16.1. Przestrzeń zdarzeń elementarnych 245
16.2. Aksjomaty rachunku prawdopodobień stwa 246
16.3. Prawdopodobień stwo warunkowe 250
16.4. Prawdopodobień stwo całkowite 251
16.5. Niezależność zdarzeń 254
16.6. Łańcuchy Markowa. Modele ewolucji molekularnej 255
16.7. Odległość filogenetyczna Jukesa–Cantora 259
17. Modele probabilistyczne II 265
17.1. Dyskretna zmienna losowa, wartość oczekiwana, wariancja 265
17.2. Niezależność zmiennych losowych 269
17.3. Ciąg prób Bernoulliego 272
17.4. Rozkład dwumianowy 273
17.5. Rozkład Poissona 275
17.6. Gra o sumie zerowej i gra sprawiedliwa 277
17.7. Gra gołąb–jastrząb 278
17.8. Strategia ewolucyjnie stabilna 281
17.9. Bit, informacja, entropia 284
17.10. Wskaźnik różnorodności biologicznej Shannona 288
17.11. Zmienne losowe o rozkładzie ciągłym 289
17.12. Rozkład jednostajny 293
17.13. Rozkład normalny 293
17.14. Centralne twierdzenie graniczne 296
17.15. Transport i dyfuzja 297
18. Zakończenie 306
Bibliografia 307
Indeks 310
