Matematyka dla biologów

Książka prowadzi Czytelnika od elementarnych pojęć matematyki do zagadnień bardziej zaawansowanych, wykorzystywanych przy tworzeniu modeli matematycznych w biologii i naukach pokrewnych. Szerokim zakresem obejmuje zagadnienia matematyki dyskretnej i rachunku prawdopodopodobieństwa wykorzystywane w filogenetyce oraz metody analizy matematycznej stosowane w biotechnologii i ekologii. Liczne przykłady i ilustracje czynią ją przystępnym podręcznikiem matematyki dla studentów biologii, biotechnologii, a także medycyny i nauk rolniczych. Jej istotnym uzupełnieniem jest zbiór zadań przygotowany przez Marka Bodnara. Książka ta pomoże biologom w studiowaniu literatury biologicznej, w której coraz częściej wykorzystuje się nieelementarne modele matematyczne, może także ułatwić porozumienie i współpracę biologów z matematykami i fizykami. Dr hab. Dariusz Wrzosek jest profesorem na Wydziale Matematyki Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Dorobek naukowy autora poświęcony jest badaniu i tworzeniu modeli matematycznych w naukach przyrodniczych.

Spis treści

Wstęp 9 1. Logika 13 1.1. Pojęcie zdania w logice 13 1.2. Podstawowe zdania złożone 15 1.3. Tautologie – prawa logiki 19 1.4. Wnioskowanie 22 1.5. Kwantyfikatory 23 2. Podstawy: zbiory, liczby, relacje 27 2.1. Matematyka jest nauką aksjomatyczną 28 2.2. Aksjomaty-pewniki 30 2.3. Operacje na zbiorach 31 2.4. Liczby naturalne 33 2.5. Liczby całkowite i wymierne 36 2.6. Liczby rzeczywiste 37 2.7. Liczby zespolone 41 2.8. Relacje 42 3. Zbiory nieskończone 47 3.1. Funkcje 47 3.2. Równoliczność zbiorów 49 4. Przestrzeń wektorowa. Metryka 56 4.1. Przestrzeń Rⁿ 56 4.2. Macierze 59 4.3. Metryka 61 5. Funkcja potęgowa i wykładnicza. Logarytmy i ich zastosowania 68 5.1. Funkcje liniowe 68 5.2. Potęgowanie 70 5.3. Karły i olbrzymy 71 5.4. Funkcje potęgowe, funkcje wykładnicze, wielomiany 73 5.5. Logarytmy 74 5.6. Skala kwasowości pH, skala Richtera 78 5.7. Współrzędne log–log 79 5.8. Metoda najmniejszych kwadratów (regresji liniowej) 81 6. Matematyka dyskretna 86 6.1. Kombinatoryka 86 6.2. Grafy 90 6.3. Cykle w grafie 96 6.4. Drzewa filogenetyczne 99 7. Podstawy analizy matematycznej 104 7.1. Granica ciągu 104 7.2. Ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny 109 7.3. Szeregi liczbowe 111 8. Granica funkcji, ciągłość funkcji, pochodna funkcji 114 8.1. Granica funkcji 114 8.2. Ciągłość funkcji 116 9. Pochodna funkcji jednej zmiennej i jej własności 124 9.1. Definicja i interpretacja pochodnej funkcji 124 9.2. Obliczanie pochodnych 129 9.3. Ruch ciała, położenie, prędkość, przyspieszenie 131 10. Ekstrema funkcji, funkcje wypukłe, gradient funkcji wielu zmiennych 134 10.1. Twierdzenia Rolla i Lagrange’a 134 10.2. Równania nieliniowe 137 10.3. Minimum, maksimum funkcji 138 10.4. Zasada optymalizacji. Optymalne strategie żerowania 140 10.5. Przybliżanie wartości funkcji 145 10.6. Funkcja wypukła, funkcja wklęsła 147 10.7. Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych 152 11. Całki i krzywe 157 11.1. Funkcja pierwotna, całka 157 11.2. Całka oznaczona, pole obszaru 158 11.3. Całka niewłaściwa 164 11.4. Krzywe 165 11.5. Krzywa Kocha 170 12. Modele matematyczne w biologii 173 12.1. Co to jest model matematyczny 173 12.2. Weryfikacja modelu 175 12.3. Czas ciągły, czas dyskretny 176 12.4. Równanie Malthusa, wykładniczy wzrost populacji 178 12.5. Króliki Fibonacciego i liczba złotego podziału 183 13. Podstawowe modele wzrostu pojedynczej populacji w czasie ciągłym 188 13.1. Równanie różniczkowe, zmienne rozdzielone 188 13.2. Rozpad promieniotwórczy 193 13.3. Krzywa przeżywalności 194 13.4. Datowanie izotopem węgla ¹⁴C 197 13.5. Równanie logistyczne 198 13.6. Szacowanie liczebności populacji wg równania logistycznego 203 13.7. Eksploatacja zasobów pokarmowych 203 14. Modele oddziaływań międzypopulacyjnych w czasie ciągłym 208 14.1. Układy równańróżniczkowych 208 14.2. Portret fazowy 212 14.3. Stabilność stanu stacjonarnego 214 14.4. Konkurencja, drapieżnictwo, mutualizm (symbioza) 219 14.5. Kinetyka reakcji chemicznych, reakcja Lotki 224 15. Modele populacyjne z czasem dyskretnym i modele ze strukturą wieku 230 15.1. Model logistyczny z czasem dyskretnym, chaos deterministyczny 231 15.2. Równanie logistyczne – związek między modelem z czasem ciągłym a modelem z czasem dyskretnym 235 15.3. Wzrost populacji z uwzględnieniem struktury wieku 237 15.4. Demografia 239 15.5. Model wzrostu populacji roślin dwuletnich 241 16. Podstawy rachunku prawdopodobieństwa. Modele probabilistyczne I 244 16.1. Przestrzeń zdarzeń elementarnych 245 16.2. Aksjomaty rachunku prawdopodobień stwa 246 16.3. Prawdopodobień stwo warunkowe 250 16.4. Prawdopodobień stwo całkowite 251 16.5. Niezależność zdarzeń 254 16.6. Łańcuchy Markowa. Modele ewolucji molekularnej 255 16.7. Odległość filogenetyczna Jukesa–Cantora 259 17. Modele probabilistyczne II 265 17.1. Dyskretna zmienna losowa, wartość oczekiwana, wariancja 265 17.2. Niezależność zmiennych losowych 269 17.3. Ciąg prób Bernoulliego 272 17.4. Rozkład dwumianowy 273 17.5. Rozkład Poissona 275 17.6. Gra o sumie zerowej i gra sprawiedliwa 277 17.7. Gra gołąb–jastrząb 278 17.8. Strategia ewolucyjnie stabilna 281 17.9. Bit, informacja, entropia 284 17.10. Wskaźnik różnorodności biologicznej Shannona 288 17.11. Zmienne losowe o rozkładzie ciągłym 289 17.12. Rozkład jednostajny 293 17.13. Rozkład normalny 293 17.14. Centralne twierdzenie graniczne 296 17.15. Transport i dyfuzja 297 18. Zakończenie 306 Bibliografia 307 Indeks 310