Elementy analizy tensorowej. Wydanie 2

Drugie, zmienione wydanie nowoczesnego wykładu analizy tensorowej w naukach fizycznych i technicznych. Autor szczegółowo wyjaśnia, czym jest rozmaitość różniczkowa, wektor i tensor oraz dlaczego wektor nie należy do przestrzeni, w której punktach jest zdefiniowany, poświęca uwagę pochodnej Liego i jej związkom z symetriami i prawami zachowania, tensorom względnym i znajdowaniu linii geodezyjnych, a teraz także reprezentacji równania dewiacji geodezyjnej w postaci układu równań dla skalarów Jacobiego. Tekst główny uzupełniają przykłady i zadania. Ostatni rozdział to monografia zastosowań analizy tensorowej do badania krzywizny i symetrii przestrzeni Riemanna oraz czasoprzestrzeni. Podręcznik ten przeznaczony jest dla wszystkich, którzy używają tensorów w naukach fizycznych i technicznych. Może być interesujący dla matematyków, stanowi bowiem etap pośredni między klasyczną geometrią w przestrzeni trójwymiarowej a nowoczesną abstrakcyjną geometrią różniczkową rozmaitości. The second revised edition of the modern tensor analysis lecture on physical and engineering science. The author gives detailed definitions of a differentiable manifold, a vector and a tensor and explains why a vector does not belong to space at points of which it is defined. The subjects discussed include the Lie derivative and its relations to symmetries and conservation laws, relative tensors and finding geodesic lines, as well as the representation of the geodesic deviation equation in the form of a system of equations for Jacobi scalars. Apart from the main text, the publication includes examples and tasks. The last chapter is a monograph on tensor analysis applications for investigating the curvature and symmetry of a Riemann space and space-time.

Spis treści

Przedmowa do drugiego wydania 9 Przedmowa do pierwszego wydania 10 1. Preliminaria 13 1.1. Przestrzeń i czasoprzestrzeń w matematyce 13 1.2. Wektory na rozmaitości 15 1.3. Tensory 16 1.4. Przestrzenie Rn i En 17 1.4.1. Afiniczna przestrzeń euklidesowa En 21 1.5. Odwzorowania przestrzeni Rn 24 1.6. Transformacje współrzędnych 29 1.6.1. Współrzędne biegunowe na płaszczyźnie 33 1.7. Wymiar przestrzeni 36 1.8. Notacja 37 2. Rozmaitości różniczkowe 40 2.1. Wprowadzenie 40 2.2. Definicja rozmaitości różniczkowej 42 2.2.1. Rozmaitość 50 2.3. Przykłady rozmaitości gładkich 53 2.4. Rozmaitości gładkie w Rn 61 2.5. Rozmaitości indukowane i iloczynowe 67 2.6. Powierzchnie jednostronne. Wstęga Möbiusa i butelka Kleina 69 2.7. Odwzorowania rozmaitości 74 2.8. Krzywe gładkie 81 2.9. Klasyfikacja rozmaitości 85 3. Wektory i tensory 88 3.1. Geometryczny opis wektora 88 3.2. Przestrzeń styczna do En 91 3.3. Liniowa transformacja współrzędnych w En i zmiana bazy w TpEn 93 3.4. Wektor jako operator różniczkowy 95 3.5. Przestrzeń styczna do rozmaitości 98 3.6. Gładkie pola wektorowe 102 3.7. Wektory kowariantne 105 3.8. Pola kowektorów i gradient funkcji 108 3.8.1. Graficzne przedstawienie kowektora 112 3.9. Tensory 115 3.10. Składowe i bazy tensorów 117 3.11.Pola tensorowe 119 3.12. Działania na tensorach 124 3.13.Komutator pól wektorowych 126 3.14.Tensor metryczny 130 3.15.Operacje na tensorach za pomocą metryki 140 3.16.Wyznaczniki i symbol Leviego–Civity 143 3.17. Uogólniony symbol Kroneckera 149 3.18.Tensory względne 152 3.19. Rozmaitości dwuwymiarowe 153 3.20. Metryka hiperpowierzchni 154 3.20.1. Sfera Sn 160 3.21. Przestrzenie hiperboliczne 161 3.21.1. Wstęp historyczny 161 3.21.2. Płaszczyzna hiperboliczna jako sfera w przestrzeni Minkowskiego 163 3.21.3.Model Kleina płaszczyzny Łobaczewskiego 164 3.21.4.Model Poincarégo płaszczyzny hiperbolicznej 166 3.21.5. Pseudosfera Beltramiego 167 3.21.6. Przekształcenia modeli 170 3.22. Orientowalność rozmaitości 171 4. Odwzorowania tensorów i pochodna Liego 175 4.1. Odwzorowania styczne funkcji i wektorów 175 4.2. Odwzorowania styczne dla kowektorów 179 4.3. Odwzorowania styczne dla dowolnych tensorów 180 4.4. Transformacje czynne i bierne 182 4.5. Symetrie i przeniesienie według Liego 184 4.6. Pochodna Liego 187 4.7. Ogólne własności pochodnej Liego 190 4.8. Pochodna Liego tensorów względnych 195 4.9. Symetrie 198 5. Pochodna absolutna i kowariantna 201 5.1. Pochodna absolutna wektora 202 5.2. Pochodna kowariantna wektora 204 5.3. Transformacje koneksji afinicznej 207 5.4. Pochodna kowariantna i absolutna tensora 209 5.5. Pochodne wyższych rzędów 214 5.6. Pochodne kowariantne tensorów względnych 215 5.7. Przestrzeń z koneksja afiniczna 217 5.7.1. Koneksja symetryczna i pochodna Liego 218 5.8. Przeniesienie równoległe 220 5.9. Linie geodezyjne 223 5.9.1. Przekształcenia geodezyjne koneksji afinicznej 228 5.9.2. Interpretacja geometryczna skręcenia koneksji 230 5.10. Odwzorowanie eksponencjalne i współrzędne riemannowskie 233 5.11. Krzywizna przestrzeni 236 5.12.Tensor krzywizny 238 5.13. Interpretacja geometryczna tensora krzywizny 245 5.14. Przestrzenie afinicznie płaskie 247 5.15.Pochodna Liego koneksji i krzywizny 253 6. Różniczkowanie w przestrzeni Riemanna 257 6.1. Koneksja metryczna i symetryczna 257 6.2. Kowariantne operatory różniczkowe 263 6.3. Tożsamości różniczkowe pierwszego rzędu dla metryki 267 6.4. Różniczkowanie tensorów względnych i pochodna Liego 270 6.5. Geodetyki jako linie najkrótsze 272 6.5.1. Form–inwariantność funkcjonału długości 278 6.5.2. Ekstremum warunkowe 281 6.6. Własności metryczne geodetyk 285 6.7. Przykłady linii geodezyjnych 290 6.8. Współrzędne normalne riemannowskie 300 6.9. Współrzędne normalne geodezyjne Gaussa 309 7. Krzywizna i izometrie przestrzeni Riemanna 314 7.1. Tensory Riemanna i Ricciego oraz skalar krzywizny 314 7.2. Przestrzenie metrycznie płaskie 317 7.3. Pola wektorowe kowariantnie stałe 319 7.4. Krzywizna przestrzeni w wymiarach 1, 2 i 3 321 7.5. Krzywizna przestrzeni S2, H2, T2, S3 i H3 324 7.6. Krzywizna przestrzeni wielowymiarowych. Tensor Weyla 326 7.7. Czasoprzestrzenie czterowymiarowe 330 7.7.1. Przestrzeń de Sittera 330 7.7.2. Przestrzeń anty–de Sittera 335 7.7.3. Czasoprzestrzenie Robertsona–Walkera 337 7.7.4. Płaska fala grawitacyjna 340 7.8. Tensory krzywizny i tensory Weyla dla różnych metryk 343 7.9. Niezmienniki tensora krzywizny 345 7.10. Tożsamości Bianchiego 348 7.10.1. Całkowe tożsamości Bianchiego 350 7.11. Dewiacja geodezyjna 354 7.11.1. Skalarne równania dewiacji geodezyjnej 361 7.12. Krzywizna sekcyjna 363 7.13. Krzywizna a metryka 367 7.14. Izometrie i przestrzenie z symetriami 367 7.14.1. Przestrzenie o stałej krzywiźnie 369 7.14.2. Jednorodność i izotropowość 372 7.14.3. Przestrzenie o stałej krzywiźnie i symetryczne 375 7.15.Wektory Killinga 376 7.15.1. Klasyczna konstrukcja wektora Killinga 378 7.16.Wyznaczenie izometrii z wektorów Killinga 380 7.17. Własności wektorów Killinga 383 7.17.1.Pola Killinga i Jacobiego 390 7.18.Warunki całkowalności równań Killinga 392 7.19.Wektory Killinga a jednorodność i izotropowość 395 7.20. Przykłady wektorów Killinga 398 7.21.Wektory ortogonalne do hiperpowierzchni 406 7.22. Izometrie przestrzeni zamkniętych 409 Skorowidz 413 Skorowidz nazwisk 421