Topologia

Książka jest obszernym podręcznikiem topologii ogólnej z elementami topologii mnogościowej i geometrycznej, napisanej zrozumiałym a zarazem precyzyjnym językiem. Obok najważniejszych pojęć topologicznych, takich jak metryzowalność, zwartość, zupełność i spójność, omówiono tu wiele innych zagadnień, w tym zastosowania topologii w innych dziedzinach matematyki oraz kierunki rozwoju dziedziny. Podano również wiele alternatywnych dowodów klasycznych twierdzeń. Wiele dowodów pojawia się w kompletnej formie po raz pierwszy w wersji książkowej, co nadaje publikacji charakter monografii. Książka opatrzona jest komentarzami i obszerną bibliografią ułatwiającymi dalsze zgłębianie tematu zarówno studentom matematyki, informatyki i innych kierunków ścisłych oraz wszystkich zainteresowanych topologią. „Topologia profesora Aleksandra Błaszczyka stanowi wartościową aktualizację spojrzenia na dziedzinę, omawia bardzo obszerny materiał oraz posiada znaczący walor dydaktyczny”. (prof. dr hab. Michał Morayne)

Spis treści

Wstęp 1 Rozdział 1. Przestrzenie topologiczne 3 1. Generowanie topologii, bazy i podbazy 3 2. Metryka, wnętrze i domknięcie zbioru 16 3. Funkcje ciągłe, homeomorfizmy 31 4. Zbiory gęste, rodziny zbiorów parami rozłącznych 40 5. Iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych 45 6. Grupy topologiczne, przestrzenie jednorodne 53 7. Przestrzenie zwarte, lemat Alexandera 58 8. Przestrzenie regularne i normalne 71 9. Zbiory nigdziegęste, zbiory typu F_? i G_?, zbiory Cantora 82 10. Produkty przestrzeni topologicznych, kostki Cantora, kostki Tichonowa 96 11. Przestrzenie Tichonowa, twierdzenie o zanurzaniu 106 12. Granice odwrotne przestrzeni topologicznych 114 13. Komentarze i uzupełnienia: Topologiczny dowód zasadniczego twierdzenia algebry • Funkcje peanowskie • Funkcje ciągłe a przestrzenie regularne • Niezmienniki kardynalne • Krata topologii 124 Rozdział 2. Metryzowalność 141 1. Metryki w iloczynie kartezjańskim i produkcie, przestrzeń B(?) 141 2. Metryki w przestrzeniach C*(X) oraz exp(X) i J(?) 153 3. Twierdzenia metryzacyjne, lemat Stone’a, twierdzenie Binga–Nagaty–Smirnowa, twierdzenie Kowalsky’ego 166 4. Przestrzenie parazwarte i własność Lindelöfa 178 5. Funkcje wielowartościowe, twierdzenie Michaela o selekcji 185 6. Kolektywna normalność i monotoniczna normalność 188 7. Przestrzenie Moore’a, twierdzenie metryzacyjne Binga 193 8. Struktury jednostajne, pseudometryki, twierdzenia Tukeya i Weila, jednostajności w grupach topologicznych 197 9. Bazy jednostajności, twierdzenia metryzacyjne Aleksandrowa–Urysohna i Birkhoffa–Kakutaniego 207 10. Pokrycia jednostajne, związki z parazwartścią 210 11. Komentarze i uzupełnienia: Wymierna przestrzeń uniwersalna Urysohna • Lemat van Douwena o bazach • Superzwartość przestrzeni metrycznych zwartych • Przestrzenie monotonicznie normalne • Przestrzenie liniowo topologiczne 218 Rozdział 3. Zwartość 239 1. Rozszerzenie Cecha–Stone’a 239 2. Przestrzenie ekstremalnie niespójne, F-przestrzenie 250 3. Ciągowa zwartość i przeliczalna zwartość 263 4. Przestrzenie pseudozwarte i twierdzenie Glicksberga 270 5. Przestrzenie Hewitta a rozszerzenie Cecha–Stone’a 281 6. Kostki Cantora i przestrzenie diadyczne, twierdzenie Jefimowa 286 7. Odwzorowania na kostki, twierdzenie Szapirowskiego 300 8. Przestrzenie Dugundjiego, twierdzenie Haydona 308 9. Przestrzeń ßN \ N, twierdzenia Parowiczenki 324 10. Komentarze i uzupełnienia: Odwzorowania doskonałe • Hipoteza Jefimowa • Reprezentacje topologiczne krat i algebr Boole’a • Przestrzenie Gleasona • Przestrzenie sztywne • Układy dynamiczne • Przestrzeń exp(X) dla zwartych X • Pseudozwartość przestrzeni X a przestrzeń ßX 337 Rozdział 4. Zupełność 367 1. Przestrzenie metryczne zupełne 367 2. Metryzowalność w sposób zupełny, zupełność w sensie Cecha, twierdzenie Namioki 377 3. Przestrzenie polskie, charakteryzacja przestrzeni B(?) 389 4. Zbiory borelowskie, funkcje borelowskie, własność Baire’a, twierdzenie Lebesgue’a–Hausdorffa 396 5. Topologia eksponencjalna w przestrzeni [N]^?, własność Ramseya, twierdzenie Ellentucka 409 6. Przestrzenie Baire’a, twierdzenie Kuratowskiego–Ulama, własność Blumberga 415 7. Przestrzenie funkcyjne, topologia zbieżności punktowej w przestrzeń Cp(X), twierdzenie Rosenthala 423 8. Gry topologiczne, gra Banacha–Mazura, gra Choqueta 432 9. Komentarze i uzupełnienia: Uniwersalna przestrzeń polska • Twierdzenie Hurewicza • Zupełność w sensie Dieudonnégo • Funkcje pierwszej klasy Baire’a, kompakty Rosenthala 441 Rozdział 5. Spójność 455 1. Spójność w ogólnych przestrzeniach topologicznych 455 2. Zbiory rozspajające, składowe i quasi-składowe, rodzaje niespójności 462 3. Kontinua, twierdzenie Moore’a, charakteryzacja topologiczna odcinka i okręgu 471 4. Kontinua nierozkładalne, kompozanty, twierdzenie Mazurkiewicza 480 5. Przestrzenie lokalnie spójne, twierdzenie Hahna–Mazurkiewicza 486 6. Komentarze i uzupełnienia: Osobliwe przestrzenie spójne (topologia Golomba i topologia Kircha) • Kompozanty w kontinuach niemetryzowalnych • Odwzorowania ciągłe kontinuum ß[0,?) \ [0,?) 493 Rozdział 6. Dodatek 501 1. Zbiory 501 2. Liczby porządkowe 512 3. Liczby kardynalne 524 Bibliografia 551 Skorowidz 571 Spis symboli 579 Spis nazwisk 583