Analiza, cz. 3

Każde słowo – podobnie jak imię – niesie w sobie różną treść, budzi różne skojarzenia zależne od doświadczeń tego, kogo spotyka. I tak, słowo analiza znaczy dla każdego matematyka coś innego. Dla jednych obejmuje ono niewiele więcej niż rachunek różniczkowy i całkowy, dla innych kojarzy się z twierdzeniem Riemanna–Rocha czy formami harmonicznymi. Jest to jedyny podręcznik, który wychodząc od zera – dokładniej mówiąc od liczb wymiernych – dochodzi do teorii dystrybucji, całek prostych, analizy na rozmaitościach zespolonych, przestrzeni Kählera, teorii snopów i wiązek wektorowych itd. Celem moim było pokazanie młodemu człowiekowi piękna i bogactwa tego niezwykłego świata, jakim jest współczesna analiza matematyczna.

(z Przedmowy)

Książka jest wznowieniem pierwszego wydania trzeciej części trylogii prof. Krzysztofa Maurina Analiza, które ukazało się nakładem PWN w 1991 roku jako tom 71 Biblioteki Matematycznej.

W części III autor, zakładając, że czytelnik zna elementy topologii ogólnej i całkowania form różniczkowych, wnika najpierw głębiej w analizę zespoloną, a następnie idzie drogą Riemanna, dla którego teoria potencjału, na powierzchniach związanych nierozerwalnie z jego nazwiskiem, była głównym narzędziem.

Spis treści

Rozdział XV. Podstawowe własności funkcji holomorficznych wielu zminnych. Funkcje harmoniczne 9 § 1. Odwzorowania holomorficzne. Równania Cauchy'ego-Riemanna 9 § 2. Formy różniczkowena rozmaitości zespolonej. Formy typu (p, q). Operatory d' i d" 15 § 3. Wzór Cauchy'ego i jego zastosowania 21 § 4. Topologia przestrzeni funkcji holomorficznych A (?) 28 § 5. Podstawowe własności funkcji harmonicznych 32 § 6. Funkcje Greena. Wzór całkowy Poissona. Twierdzenie Harnacka 42 § 7. Funkcje podharmoniczne. Rozwiązanie Perrona problemu Dirichleta 47 Rozdział XVI. Jednowymiarowa analiza zespolona (powierzchnie Riemanna) 53 § 1. Zera funkcji holomorficznych jednej zmiennej zespolonej 55 § 2. Funkcje holomorficzne w pierścieniu. Rozwinięcie w szewreg Laurenta. Punkty osobliwe 62 § 3. Funkcje meromorficzne 72 § 4. Zastosowanie residuów do obliczania całek 77 § 5. Zastosowanie zasady argumentu 85 § 6. Funkcje i normy różniczkowe na powierzchni Riemanna 89 § 7. Przedłużenie analityczne. Nakrycia. Grupa podstawowa. Teoria Poincarégo 101 § 8. Twierdzenie Koebego-Riemanna. Geometria nieeuklidesowa. Przekształcenia Möbiusa 131 § 9. Metoda Perrona dla powierzchni Riemanna. Twierdzenie Radó 153 § 10. Funkcje rezolutywne. Miary harmoniczne. Twierdzenie Brelota 164 § 11. Funkcja Greena powierzchni Riemanna 171 § 12. Twierdzenie o uniformizacji 176 § 13. Twierdzenie Rungego. Twierdzenie Behnkego i Steina. Twierdzenie Malgrange'a 180 § 14. Problemy Cousina w otwartych powierzchniach Riemanna. Twierdzenie Mittag-Lefflera i Weierstrassa 185 § 15. Przykłady ułamków prostych i rozkładu na ułamki proste. Funkcje cospz, ?²/sin²pz, ? (z). Wzory Mellina i Hankla. Iloczyny kanoniczne 192 § 16. Funkcje eliptyczne. Szeregi Eisensteina. Funkcja A 197 § 17. Funkcje i formy modułowe. Figura modułowa, nieciągłe grupy automorfizmów 207 § 18. Wzór na krotność zer formy modułowej. Wymiar przestrzeni wektorowych M⁰ (k, ?) form parabolicznych 223 § 19. Własności odwzorowania j. Twierdzenie Picarda. Krzywe eliptyczne. Problem odwrotny Jacobiego. Twierdzenie Abela 226 § 20. Zasada uninformalizacji. Formy automorficzne. Twierdzenie Riemanna-Rocha i jego konsekwencje. szkic historyczny 235 § 21. Dodatki. Ćwiczenia (dowody twierdzeń Rungego, Florack, Koebego i Hurwitza, grupy trójkątne, całki eliptycznei liczby przestępne) 263 § 22. Problem Riemanna-Hilberta 281 Rozdział XVII. Przestrzenie normalne Tichonowa i parazwarte. Teoria Gelfanda. Rozkład jedności 283 § 1. Przestrzenie lokalne zwarte przeliczalne w nieskończoności 283 § 2. Przestrzenie normalne. Lemat Urysohna 285 § 3. Rozszerzenie funkcji ciągłych na przestrzeniach normalnych 289 § 4. Przestrzenie Tichonowa. Uniformizowanie. Uzwarcenie 291 § 5. Teoria ideałów maksymalnych 295 § 6. Teoria ideałów maksymalnych (według) Gelfanda 300 § 7. Związek z mechaniką kwantową 304 § 8. Rodziny lokalnie skończone 305 § 9. Przestrzenie parazwarte. Rozkład jedności. Parazwartość przestrzeni metrycznych 307 Rozdział XVIII. Odwzorowania mierzalne. Transport miary. Sploty miar i funkcji 313 § 1. Odwzorowania mierzalne 314 § 2. Topologie wyznaczone przez rodziny odwzorowań 315 § 3. Transport miary 317 § 4. granice rzutowe przestrzeni Hausdorffa. Nieskończone iloczyny tensorowe i granice rzutowe miar 318 § 5. Sploty miar i funkcji 322 § 6. Sploty funkcji i miar na R^p 325 § 7. Sploty funkcji całkowalnych 325 Rozdział XIX. Teoria dystrybucji. Analiza harmoniczna 327 § 1. Przestrzeń C₀^? (?) 327 § 2. Różniczkowalny rozkład jedności na Rⁿ 331 § 3. Przestrzeń funkcji próbnych. Dystrybucje 332 § 4. Granice induktywne. Topologia przestrzeni ? 335 § 5. Zasada sklejania dystrybucji. Nośnik dystrybucji 337 § 6. Przestrzeń e (?). Dystrybucje o nośnikach zwartych 338 § 7. działania na dystrybucjach 340 § 8. Algebra splotowa e' (Rⁿ) 347 § 9. Obraz prosty dystrybucji 348 § 10. Uwagi o iloczynach tensorowych EÄF EÄF. Twierdzenie o jądrze 349 § 11. Iloczyn tensorowy E F przestrzeni Hilberta 351 § 12. Regularyzacja dystrybucji 354 § 13. Przykłady dystrybucji ważnych w zastosowaniach 356 § 14. Transformacja Fouriera. Przestrzeń Y 360 § 15. Transformacja Fouriera jako operator unitarny na przestrzeni Y² (Rⁿ) 366 § 16. Dystrybucje temperowane. Transformacja Fouriera w Y' 367 § 17. Transformacja Laplace'a-Fouriera dla funkcji i dystrybucji. Twierdzenie Paleya-Wienera-Schwartza 372 § 18. Rozwiązania podstawowe operatorów różniczkowych 375 § 19. Funkcje dodatnio określone. Dystrybucje dodatnie. Twierdzenie Bochnera i Minłosa 377 § 20. Reprezentacje grup lokalnie zwartych. Związek między reprezentacjami unitarnymi i funkcjami dodatnio określnonymi 381 § 21. Całka Haara 389 Dodatek. Twierdzenie Sarda. Lemat Thoma. Twierdzenie Whitneya 396 Skorowidz oznaczeń 402 Skorowidz nazwisk 407 Skorowidz nazw 410